Parametr 13

[avleyi]

Wyznacz te wartości parametru m, dla których:
a) równanie \( \frac{x^2 - 2m^2x+3m^2}{x-4} = 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
b) równanie \((x-4)(x^2-2m^2x+3m^2) = 0\) ma jedno rozwiązanie

[eresh]

Wyznacz te wartości parametru m, dla których:
a) równanie \( \frac{x^2 - 2m^2x+3m^2}{x-4} = 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie

\(x\neq 4\)

równanie \(x^2 - 2m^2x+3m^2=0\):

1. ma jedno rozwiązanie i \(x\neq 4\)
\(\Delta=0\\
4m^4-12m^2=0\\
4m^2(m^2-3)=0\\
m=0\;\;\vee\;\;m=-\sqrt{3}\;\;\vee\;\;\;m=\sqrt{3}\)

2. ma dwa rozwiązania i jednym z nich jest \(x=4\)
\(\Delta>0\iff x\in (-\infty, -\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},\infty)\\
16-8m^2+3m^2=0\\
-5m^2=-16\\
m^2=\frac{16}{5}\\
m=\frac{4}{\sqrt{5}}\;\;\vee\;\;\;m=-\frac{4}{\sqrt{5}}\)

[eresh]

Wyznacz te wartości parametru m, dla których:

b) równanie \((x-4)(x^2-2m^2x+3m^2) = 0\) ma jedno rozwiązanie

\(m=4\) jest rozwiązaniem

równanie \( (x^2-2m^2x+3m^2) = 0\):

1. nie ma rozwiązań
\(\Delta<0\\
m\in (-\sqrt{3},\sqrt{3})\setminus\{0\}\)

2. ma jedno rozwiązanie: \(x=4\)
\(16-8m^2+3m^2=0\\
-5m^2=-16\\
m^2=\frac{16}{5}\\
m=\frac{4}{\sqrt{5}}\;\;\vee\;\;\;m=-\frac{4}{\sqrt{5}}\)