Parametr 11

[avleyi]

Dla jakiego k trzy różne pierwiastki równania: \(x^3 + (2k+6)x^2 + 4kx + 12x = 0\) są większe od -1?

[Jerry]

Rozumiem, że każdy z pierwiastków jest większy od \(-1\)...
\(x^3 + (2k+6)x^2 + 4kx + 12x = 0\\
x=0\vee x^2 + (2k+6)x + 4k + 12 = 0\)
Pierwszy z pierwiastków spełnia warunki zadania, pozostaje równanie
\(x^2 + (2k+6)x + 4k + 12 = 0\)
które musi mieć dwa, każdy z nich różny od zera, pierwiastki większe od \(-1\). Zatem

1. \((2k+6)^2-4(4k + 12)>0\)
2. \(0^2 + (2k+6)\cdot0 + 4k + 12 \ne 0\)
3. \(\begin{cases}x_1>-1\\x_2>-1\end{cases}\iff\begin{cases}x_1x_2+(x_1+x_2)+1>0\\(x_1+x_2)+2>0\end{cases}\iff\begin{cases}(4k+12)+(-2k-6)+1>0\\(-2k-6)+2>0\end{cases}\)

Dolicz i zbierz wyniki...

Pozdrawiam