Parametr 10

[avleyi]

Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(x^2 - (m+2)x + m + 4 =0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) takie, że \(x_1^4 + x_2^4 = 4m^3 + 6m^2 - 32m + 12\)

[Jerry]

1. \(\Delta(m)>0\iff (m+2)^2-4m-16>0\iff m^2-12>0\)
2. \(x_1^4 + x_2^4=(x_1+x_2)^4-4x_1x_2(x_1+x_2)^2+2(x_1x_2)^2=(m+2)^4-4(m+4)(m+2)^2+(m+4)^2=\\ \qquad =
   m^4+4m^3-6m^2-32m-16\\
   x_1^4 + x_2^4 = 4m^3 + 6m^2 - 32m + 12\iff m^4+4m^3-6m^2-32m-16=4m^3 + 6m^2 - 32m + 12\iff\\ \qquad \iff m^4-12m^2-28=0\iff (m^2-14)(m^2+2)=0\)

Wobec 1., 2.: \(m\in\{-\sqrt{14},\sqrt{14}\}\)

Pozdrawiam