Parametr 1

[avleyi]

Dla jakich m, \( m \in \rr \) równanie \( x^2 -mx + 3 = 0 \) ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek:
a) \( x_1^4 + x_2^4 \le 7 \)
b) \( |x_1 - x_2 | = 2 \)
c) \( |x_1| + |x_2| \le 4 \)
d) \( x_1^4 - x_2^4 = 10x_1^2 - 10x_2^2\)

[Jerry]

Dla jakich m, \( m \in \rr \) równanie \( x^2 -mx + 3 = 0 \) ma dwa różne pierwiastki ...

\(\Delta(m)=m^2-12=(m+2\sqrt3)(x-2\sqrt3)\\
\Delta(m)>0\iff m\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt3;+\infty)\So \begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=3\end{cases}\)

a) \( x_1^4 + x_2^4 \le 7 \)

\(x_1^4+x_2^4= (x_1+x_2)^4-4x_1x_2(x_1+x_2)^2+2(x_1x_2)^2=m^4-12m^2+18\\
x_1^4+x_2^4\le7\iff m^4-12m^2+11\le0\iff (m+1)(m-1)(m+\sqrt{11})(x-\sqrt{11})\le0\)

Pozdrawiam
PS. Pamiętaj, pisząc odpowiedzi, o warunku \(\Delta(m)>0\)

[Jerry]

Dla jakich m, \( m \in \rr \) równanie \( x^2 -mx + 3 = 0 \) ma dwa różne pierwiastki ...

\(\Delta(m)=m^2-12=(m+2\sqrt3)(x-2\sqrt3)\\
\Delta(m)>0\iff m\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt3;+\infty)\So \begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=3\end{cases}\)

b) \( |x_1 - x_2 | = 2 \)

\(|x_1-x_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}=\sqrt{m^2-12}\\
|x_1-x_2|=2\iff m^2-12=4\iff (m+4)(m-4)=0\)

Pozdrawiam
PS. Pamiętaj, pisząc odpowiedzi, o warunku \(\Delta(m)>0\)

[Jerry]

Dla jakich m, \( m \in \rr \) równanie \( x^2 -mx + 3 = 0 \) ma dwa różne pierwiastki ...

\(\Delta(m)=m^2-12=(m+2\sqrt3)(x-2\sqrt3)\\
\Delta(m)>0\iff m\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt3;+\infty)\So \begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=3\end{cases}\)

c) \( |x_1| + |x_2| \le 4 \)

\(|x_1| + |x_2|=\sqrt{(|x_1| + |x_2|)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|}=\sqrt{m^2-6+6}=|m|\\
|x_1| + |x_2|\le4\iff |m|\le4\)

Pozdrawiam
PS. Pamiętaj, pisząc odpowiedzi, o warunku \(\Delta(m)>0\)

[Jerry]

Dla jakich m, \( m \in \rr \) równanie \( x^2 -mx + 3 = 0 \) ma dwa różne pierwiastki ...

\(\Delta(m)=m^2-12=(m+2\sqrt3)(x-2\sqrt3)\\
\Delta(m)>0\iff m\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt3;+\infty)\So \begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=3\end{cases}\)

d) \( x_1^4 - x_2^4 = 10x_1^2 - 10x_2^2\)

\(x_1^4 - x_2^4 - 10x_1^2 + 10x_2^2=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2-10)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-10]=\\ \qquad=(x_1-x_2)\cdot m\cdot(m^2-6-10)\\
x_1^4 - x_2^4 - 10x_1^2 + 10x_2^2=0\iff (x_1=x_2\vee m(m+4)(m-4)=0)\)
Wobec \(\Delta(m)>0\) mamy \(x_1\ne x_2\) oraz \(m\in\{-4,4\}\)

Pozdrawiam

[avleyi]

a) \( x_1^4 + x_2^4 \le 7 \)
[/quote]
\(x_1^4+x_2^4= (x_1+x_2)^4-4x_1x_2(x_1+x_2)^2+2(x_1x_2)^2=m^4-12m^2+18\\
x_1^4+x_2^4\le7\iff m^4-12m^2+11\le0\iff (m+1)(m-1)(m+\sqrt{11})(x-\sqrt{11})\le0\)

Mam pytanie do rozwinięcia wzoru Viete'a, czy nie powinno być: \(x_1^4+x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2]^2 - 2x_1^2x_2^2 \) i wtedy podstawiając to będzie się równać \( (m^2 - 2 \cdot 3)^2 - 2 \cdot 3^2 = m^4 - 12m^2 -18\)

[eresh]

a) \( x_1^4 + x_2^4 \le 7 \)

\(x_1^4+x_2^4= (x_1+x_2)^4-4x_1x_2(x_1+x_2)^2+2(x_1x_2)^2=m^4-12m^2+18\\
x_1^4+x_2^4\le7\iff m^4-12m^2+11\le0\iff (m+1)(m-1)(m+\sqrt{11})(x-\sqrt{11})\le0\)

Mam pytanie do rozwinięcia wzoru Viete'a, czy nie powinno być: \(x_1^4+x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2]^2 - 2x_1^2x_2^2 \) i wtedy podstawiając to będzie się równać \( (m^2 - 2 \cdot 3)^2 - 2 \cdot 3^2 = m^4 - 12m^2 -18\)

przecież to jest to samo (tylko zostało przekształcone):
\(((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2)^2 - 2x_1^2x_2^2 =(x_1+x_2)^4-2(x_1+x_2)^2\cdot 2x_1x_2+(2x_1x_2)^2-2(x_1x_2)^2=\\=(x_1+x_2)^4-4x_1x_2(x_1+x_2)^2+2(x_1x_2)^2\)