Rozwiąż równania i nierówności

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 252
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 302 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Rozwiąż równania i nierówności

Post autor: avleyi »

Rozwiąż:
a) \( \sin x - \cos 2x = 0\)
b) \(\sin 3x + \cos 3x = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \)
c) \(4\sin 0,5x \cos 0,5x \cos x \cos 2x = 0,25 \), dla \( x \in (- \pi ; \pi) \)
d) \(\cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x = 1 \)
e) \( 1 + \cos x + \cos 0,5x = 0\)
f) \( \cos 2x + \cos x < 0 \) i \( x \in (0, 2 \pi)\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rozwiąż równania i nierówności

Post autor: Jerry »

avleyi pisze: 09 sie 2022, 12:04 Rozwiąż:
a) \( \sin x - \cos 2x = 0\)
\(\cos({\pi\over2}-x)=\cos2x\wedge D=\rr\\
({\pi\over2}-x=2x+k\cdot2\pi\vee {\pi\over2}-x=-2x+k\cdot2\pi)\wedge k\in \zz\\
x={\pi\over6}\color{red}{+}k\cdot {2\pi\over3}\vee x=-{\pi\over2}+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\)

Uwaga: Teoretycznie powinno być \(-\), ale wobec całkowitości \(k\) zwyczajowo pisze się \(+\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rozwiąż równania i nierówności

Post autor: Jerry »

avleyi pisze: 09 sie 2022, 12:04 Rozwiąż:
b) \(\sin 3x + \cos 3x = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \)
\(D=\rr\\ \sin 3x + \cos 3x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}\quad|\cdot{\sqrt2\over2}\\
\sin3x\cos{\pi\over4}+\cos3x\sin{\pi\over4}=-{1\over2}\\
\sin(3x+{\pi\over4})=\sin(-{\pi\over6})\\
(3x+{\pi\over4}=-{\pi\over6}+k\cdot2\pi\vee 3x+{\pi\over4}=\pi-(-{\pi\over6})+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\ \ldots
\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rozwiąż równania i nierówności

Post autor: Jerry »

avleyi pisze: 09 sie 2022, 12:04 Rozwiąż:
c) \(4\sin 0,5x \cos 0,5x \cos x \cos 2x = 0,25 \), dla \( x \in (- \pi ; \pi) \)
Ponieważ
\(2\cdot(2\sin 0,5x \cos 0,5x) \cos x \cos 2x=2\sin x\cos x\cos2x=\sin2x\cos2x={1\over2}\sin4x\)
to dane równanie jest równoważne
\(\sin4x=\sin{\pi\over6}\\
(4x={\pi\over6}+k\cdot2\pi\vee 4x={5\pi\over6}+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\
(x={\pi\over24}+k\cdot{\pi\over2}\vee x={5\pi\over24}+k\cdot{\pi\over2})\wedge k\in\zz\\
x\in(-\pi;\pi)\So x\in\left\{{-23\pi\over24},{-19\pi\over24},{-11\pi\over24},{-7\pi\over24},{\pi\over24},{5\pi\over24},{13\pi\over24},{17\pi\over24}\right\}\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rozwiąż równania i nierówności

Post autor: Jerry »

avleyi pisze: 09 sie 2022, 12:04 Rozwiąż:
d) \(\cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x = 1 \)
\(D=\rr\\
\cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x = 1\quad|:2\\
\cos2x\cos{\pi\over3}+\sin2x\sin{\pi\over3}={1\over2}\\
\cos(2x-{\pi\over3})=\cos{\pi\over3}\\
(2x-{\pi\over3}={\pi\over3}+k\cdot2\pi\vee 2x-{\pi\over3}=-{\pi\over3}+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\
\ldots\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rozwiąż równania i nierówności

Post autor: Jerry »

avleyi pisze: 09 sie 2022, 12:04 Rozwiąż:
e) \( 1 + \cos x + \cos 0,5x = 0\)
\(D=\rr\\
(\cos^2{x\over2}+\sin^2{x\over2})+(\cos^2{x\over2}-\sin^2{x\over2})+\cos{x\over2}=0\\
2\cos{x\over2}(\cos{x\over2}+{1\over2})=0\\
\cos{x\over2}=0\vee \cos{x\over2}=-{1\over2}\\
({x\over2}={\pi\over2}+k\cdot\pi\vee {x\over2}={2\pi\over3}+k\cdot2\pi\vee {x\over2}=-{2\pi\over3}+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\
\ldots\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rozwiąż równania i nierówności

Post autor: Jerry »

avleyi pisze: 09 sie 2022, 12:04 Rozwiąż:
f) \( \cos 2x + \cos x < 0 \) i \( x \in (0, 2 \pi)\)
\( \color{red}{\cos 2x} <\color{blue}{ -\cos x} \wedge D=(0;2\pi)\)
Analizując wykresy stron nierówności:
desmos-graph(2).png
i rozwiązując pomocniczo równanie
\(\cos2x+\cos x=0\\
2\cos{3x\over2}\cos{x\over2}=0\\
({3x\over2}={\pi\over2}+k\cdot\pi\vee {x\over2}={\pi\over2}+k\cdot\pi)\wedge k\in\zz\\
x={\pi\over3}+k\cdot{2\pi\over3}\wedge k\in\zz\)
możemy podać odpowiedź:
\(x\in\left({\pi\over3};\pi\right)\cup\left(\pi;{5\pi\over3}\right)\)

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ