Równanie trygonometryczne.

[Januszgolenia]

Rozwiąż równanie \(cos(3x)+ \sqrt{3}sin(3x)+1=0\) w przedziale \(<0, \pi >\).

[kerajs]

\( \frac{1}{2} \cos 3x+ \frac{ \sqrt{3} }{2}\sin 3x= \frac{-1}{2}\\
\sin \frac{ \pi }{6}\cos 3x+\cos \frac{ \pi }{6} \sin 3x= \frac{-1}{2}\\
\sin (3x+ \frac{ \pi }{6})= \frac{-1}{2}\\
3x+ \frac{ \pi }{6}= \frac{- \pi }{6}+k2 \pi \ \ \vee \ \
3x+ \frac{ \pi }{6}= \frac{7 \pi }{6}+k2 \pi \\
3x= \frac{- \pi }{3}+k2 \pi \ \ \vee \ \
3x= \pi +k2 \pi \\
x= \frac{- \pi }{9}+k\frac{2 \pi }{3} \ \ \vee \ \
x= \frac{ \pi }{3}+k\frac{2\pi }{3} \\
\)
Ograniczając rozwiązanie do zadanego przedziału dostaję:
\(x \in \left\{ \frac{ \pi }{3}, \frac{ 5\pi }{9}, \pi \right\} \)