Nierówności w zbiorze liczb R

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 252
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 302 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: avleyi »

Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):
1. \( 2\sin x \ge \sqrt{2} \)
2. \( 2\cos x + \sqrt{3} < 0 \)
3. \( 4\sin^2x - 3 \le 0\)
4. \( 1 - 2\cos^2x \le 0\)
5. \( \tg^2x \ge \frac{1}{3} \)
6. \( \sin x - 2\sin^2x \ge 0\)
7. \( 2\cos^2x + \cos x < 1 \)
8. \( 4\cos^2x + 2\sin^2x < 5\cos x\)
9. \( 4(\sin^2x - \cos x) \ge 1\)
10. \(\tg x \cdot (\tg x - 2 \sqrt{3}) > -3 \)
11. \((\ctg x + \sqrt{3}) \cdot \ctg x - \ctg x \le \sqrt{3} \)
Ostatnio zmieniony 07 cze 2022, 21:30 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa kodu: \sin \cos \tg \ctg
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: Jerry »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 5. \( tg^2x \ge \frac{1}{3} \)
\(|\tg x|\ge{\sqrt3\over3}\wedge\cos x\ne0\)
Obrazek
\(x\in\langle-{\pi\over6}+k\cdot\pi;{\pi\over6}+k\cdot\pi\rangle\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam
PS. Pozostałe analogicznie
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):
1. \( 2sinx \ge \sqrt{2} \)
\(\sin x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\\
\)

zadanie.png
\(x\in [\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

2. \( 2cosx + \sqrt{3} < 0 \)
\(2\cos x<-\sqrt{3}\\
\cos x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

zadanie.png
\(x\in(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\frac{7\pi}{6}+2k\pi )\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

3. \( 4sin^2x - 3 \le 0\)
\(4\sin^2x-3\leq 0\\
4\sin^2x\leq 3\\
\sin^2x\leq\frac{3}{4}\\
|\sin x|\leq\frac{\sqrt{3}}{2}\\
-\frac{\sqrt{3}}{2}\leq \sin x\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\\\)


zadanie.png
\(x\in [-\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{3}+k\pi]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

4. \( 1 - 2cos^2x \le 0\)
\(1-2\cos^2x\leq 0\\
-2\cos^2x\leq -1\\
\cos^2x\geq \frac{1}{2}\\
|\cos x|\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\\
\cos x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\;\;\; \vee \;\;\;\cos x\leq - \frac{\sqrt{2}}{2}\\
x\in [-\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

6. \( sinx - 2sin^2x \ge 0\)
\(\sin x-2\sin^2x\geq 0\\
\sin x=t\\
t-2t^2\geq 0\\
t(1-2t)\geq 0\\
t\in [0,\frac{1}{2}]\\
0\leq \sin x\leq\frac{1}{2}\\
x\in [2k\pi,\frac{\pi}{6}+2k\pi]\cup [\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \pi+2k\pi]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

7. \( 2cos^2x + cosx < 1 \)
\(\cos x=t\\
2t^2+t-1<0\\
t\in(-1,\frac{1}{2})\\
-1<\cos x<\frac{1}{2}\\
x\in (-\pi+2k\pi,-\frac{\pi}{3}+2k\pi)\cup (\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

8. \( 4cos^2x + 2sin^2x < 5cosx\)
\(4\cos ^2x+2(1-\cos^2x)<5\cos x\\
4\cos^2x+2-2\cos^2x-5\cos x<0\\
2\cos^2x-5\cos x+2<0\\
\cos x=t\\
2t^2-5t+2<0\\
t\in (\frac{1}{2},2)\\
\cos x>\frac{1}{2}\\
x\in (-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{3}+2k\pi)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

9. \( 4(sin^2x - cosx) \ge 1\)
\(4(1-\cos^2x-\cos x)\geq 1\\
1-\cos^2x-\cos x-\frac{1}{4}\geq 0\\
-\cos^2x-\cos x+\frac{3}{4}\geq 0\\
\cos x=t\\
-t^2-t+0,75\geq 0\\
t\in [-\frac{3}{2},\frac{1}{2}]\\
\cos x\leq \frac{1}{2}\\
x\in [-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{3}+2k\pi]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

10. \(tgx \cdot (tgx - 2 \sqrt{3}) > -3 \)
\(\tg x=t\\
t(t-2\sqrt{3})>-3\\
t^2-2\sqrt{3}t+3>0\\
t\in\mathbb{R}\setminus\{\sqrt{3}\}\\
\tg x\neq \sqrt{3}\\
x\neq \frac{\pi}{3}+k\pi, x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi
\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
avleyi
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 252
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 302 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: avleyi »

\(-1<\cos x<\frac{1}{2}\\
x\in (-\pi+2k\pi,-\frac{\pi}{3}+2k\pi)\cup (\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi)\)



hm myslalam ze dla cosx = -1 jest tylko jedno rozwiązanie równe: \( x = \pi + 2k\pi \), czemu jest jeszcze z minusem, gdy jest zbiór liczb rzeczywistych wtedy musze pisać też to rozwiązanie z minusem tak?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówności w zbiorze liczb R

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 06 cze 2022, 20:10 Rozwiąż daną nierówność w zbiorze liczb \( \rr \):

11. \((ctgx + \sqrt{3}) \cdot ctgx - ctgx \le \sqrt{3} \)
\(\ctg x=0\\
(t+\sqrt{3})t-t\leq \sqrt{3}\\
t^2+t\sqrt{3}-t-\sqrt{3}\leq 0\\
t^2+t(\sqrt{3}-1)-\sqrt{3}\leq 0\\
t\in [-\sqrt{3},1]\\
-\sqrt{3}\leq \ctg x\leq 1\\
x\in [\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{5\pi}{6}+k\pi]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ