Wielomian

[avleyi]

Dany jest wielomian \( W(x) = x^3 - 8x + p \), gdzie \(p\) jest liczbą pierwszą. Wyznacz \(p\) wiedząc, że W(x) ma pierwiastek całkowity.

[eresh]

Dany jest wielomian \( W(x) = x^3 - 8x + p \), gdzie \(p\) jest liczbą pierwszą. Wyznacz \(p\) wiedząc, że W(x) ma pierwiastek całkowity.

możliwe pierwiastki wielomianu: \(1,-1,p,-p\)

\(W(1)=1-8+p\\
1-8+p=0\\
p=7\in\text{Prim}\)

\(W(-1)=-1+8+p\\
-1+8+p=0\\
p=-7\notin\text{Prim}\)

\(W(p)=p^3-8p+p\\
p^3-7p=0\\
p(p^2-7)=0\\
p=0\notin\text{Prim}\;\;\vee\;\;p=\pm\sqrt{7}\notin\text{Prim}\)

\(W(-p)=-p^3+8p+p\\
-p^3+9p=0\\
-p(p^2-9)=0\\
p=0\notin\text{Prim}\\
p=-3\notin\text{Prim}\\
p=3\in\text{Prim}\)

\(p\in\{7,3\}\)

[Jerry]

Albo:
\(W(x) =0\iff x(8-x^2)= p\)
Wobec pierwszeństwa liczby \(p\) i całkowitości \(x\) warunkiem koniecznym jest:
\(x=1\vee x=-1\vee 8-x^2=1\vee 8-x^2=-1\)
Do sprawdzenia:
\(p=7\vee p=-7\vee( p=\sqrt7\vee p=-\sqrt7)\vee(p=3\vee p=-3)\)
i zostaną wskazane przez eresh

Pozdrawiam

[avleyi]

co oznacza Prim?

[eresh]

co oznacza Prim?

Zbiór liczb pierwszych