dowód nierówności

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
xenoneq_o0
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

dowód nierówności

Post autor: xenoneq_o0 » 21 maja 2022, 15:50

Udowodnij, że \( \forall_{a,b,c\in<0,1>} \frac{1}{64} \ge abc(1-a)(1-b)(1-c) \)

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 363
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 202 razy
Płeć:

Re: dowód nierówności

Post autor: Icanseepeace » 21 maja 2022, 16:22

Dla \( a,b,c \in [0 , 1] \) mamy następujące nierówności:
\( \frac{1}{4} = (\frac{(1 -a) + a}{2})^2 \geq (1-a)a \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -b) + b}{2})^2 \geq (1-b)b \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -c) + c}{2})^2 \geq (1-c)c \)
Mnożąc je stronami dostajemy tezę.

xenoneq_o0
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: dowód nierówności

Post autor: xenoneq_o0 » 21 maja 2022, 16:56

Icanseepeace pisze:
21 maja 2022, 16:22
Dla \( a,b,c \in [0 , 1] \) mamy następujące nierówności:
\( \frac{1}{4} = (\frac{(1 -a) + a}{2})^2 \geq (1-a)a \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -b) + b}{2})^2 \geq (1-b)b \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -c) + c}{2})^2 \geq (1-c)c \)
Mnożąc je stronami dostajemy tezę.

\( (\frac{(1 -a) + a}{2})^2 \geq (1-a)a \) , po lewej stronie widać, że wychodzi \( \frac{1}{4} \), ale skąd wiadomo, że zawsze \( \frac{1}{4} \geq (1-a)a \)

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 363
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 202 razy
Płeć:

Re: dowód nierówności

Post autor: Icanseepeace » 21 maja 2022, 17:10

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny to dla dowolnych rzeczywistych \(x,y\) możemy zapisać:
\[ (x-y)^2 \geq 0 \\
x^2 + y^2 - 2xy \geq 0 \\
x^2 + y^2 + 2xy \geq 4xy \\
(x+y)^2 \geq 4xy \\
(\frac{x + y}{2})^2 \geq xy
\]

Dlatego wcześniej podane przeze mnie nierówności są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych. Warunek aby liczby \( a,b,c \) należały do przedziału [0,1] pozwala nam na przemnożenie nierówności stronami.

xenoneq_o0
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: dowód nierówności

Post autor: xenoneq_o0 » 21 maja 2022, 18:39

Icanseepeace pisze:
21 maja 2022, 17:10
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny to dla dowolnych rzeczywistych \(x,y\) możemy zapisać:
\[ (x-y)^2 \geq 0 \\
x^2 + y^2 - 2xy \geq 0 \\
x^2 + y^2 + 2xy \geq 4xy \\
(x+y)^2 \geq 4xy \\
(\frac{x + y}{2})^2 \geq xy
\]

Dlatego wcześniej podane przeze mnie nierówności są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych. Warunek aby liczby \( a,b,c \) należały do przedziału [0,1] pozwala nam na przemnożenie nierówności stronami.
okej już rozumiem, bardzo dziękuję ;))