dowód nierówności
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 434
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 250 razy
- Płeć:
Re: dowód nierówności
Dla \( a,b,c \in [0 , 1] \) mamy następujące nierówności:
\( \frac{1}{4} = (\frac{(1 -a) + a}{2})^2 \geq (1-a)a \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -b) + b}{2})^2 \geq (1-b)b \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -c) + c}{2})^2 \geq (1-c)c \)
Mnożąc je stronami dostajemy tezę.
\( \frac{1}{4} = (\frac{(1 -a) + a}{2})^2 \geq (1-a)a \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -b) + b}{2})^2 \geq (1-b)b \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -c) + c}{2})^2 \geq (1-c)c \)
Mnożąc je stronami dostajemy tezę.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Re: dowód nierówności
Icanseepeace pisze: ↑21 maja 2022, 16:22 Dla \( a,b,c \in [0 , 1] \) mamy następujące nierówności:
\( \frac{1}{4} = (\frac{(1 -a) + a}{2})^2 \geq (1-a)a \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -b) + b}{2})^2 \geq (1-b)b \\ \frac{1}{4} = (\frac{(1 -c) + c}{2})^2 \geq (1-c)c \)
Mnożąc je stronami dostajemy tezę.
\( (\frac{(1 -a) + a}{2})^2 \geq (1-a)a \) , po lewej stronie widać, że wychodzi \( \frac{1}{4} \), ale skąd wiadomo, że zawsze \( \frac{1}{4} \geq (1-a)a \)
-
- Stały bywalec
- Posty: 434
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 250 razy
- Płeć:
Re: dowód nierówności
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny to dla dowolnych rzeczywistych \(x,y\) możemy zapisać:
\[ (x-y)^2 \geq 0 \\
x^2 + y^2 - 2xy \geq 0 \\
x^2 + y^2 + 2xy \geq 4xy \\
(x+y)^2 \geq 4xy \\
(\frac{x + y}{2})^2 \geq xy
\]
Dlatego wcześniej podane przeze mnie nierówności są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych. Warunek aby liczby \( a,b,c \) należały do przedziału [0,1] pozwala nam na przemnożenie nierówności stronami.
\[ (x-y)^2 \geq 0 \\
x^2 + y^2 - 2xy \geq 0 \\
x^2 + y^2 + 2xy \geq 4xy \\
(x+y)^2 \geq 4xy \\
(\frac{x + y}{2})^2 \geq xy
\]
Dlatego wcześniej podane przeze mnie nierówności są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych. Warunek aby liczby \( a,b,c \) należały do przedziału [0,1] pozwala nam na przemnożenie nierówności stronami.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Re: dowód nierówności
okej już rozumiem, bardzo dziękuję )Icanseepeace pisze: ↑21 maja 2022, 17:10 Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny to dla dowolnych rzeczywistych \(x,y\) możemy zapisać:
\[ (x-y)^2 \geq 0 \\
x^2 + y^2 - 2xy \geq 0 \\
x^2 + y^2 + 2xy \geq 4xy \\
(x+y)^2 \geq 4xy \\
(\frac{x + y}{2})^2 \geq xy
\]
Dlatego wcześniej podane przeze mnie nierówności są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych. Warunek aby liczby \( a,b,c \) należały do przedziału [0,1] pozwala nam na przemnożenie nierówności stronami.