Znajdź równania stycznych do paraboli

[avleyi]

Znajdź równania stycznych do paraboli o równaniu \( y=x^{2}-a,\) gdzie a>0, w punktach przecięcia tej paraboli z osią OX, jeśli wiadomo, że styczne te są do siebie prostopadłe.

[Jerry]

\(y=0\iff (x_1=-\sqrt a\vee x_2=\sqrt a)\)
\(y'=f'(x)=2x\)
Aby warunki zadania były spełnione, musi
\(f'(x_1)\cdot f'(x_2)=-1\\
-2\sqrt a\cdot 2\sqrt a=-1\\
a={1\over4}\)
i do odpowiedzi blisko

Odpowiedź

\(y=x-{1\over2},\, y=-x-{1\over2}\)

Pozdrawiam

[avleyi]

Co później mam zrobić z tym wyznaczonym a?

[Jerry]

Do wzorku:
\(s: y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)
wstawić za \(x_0\) wartości \(-\sqrt a=-{1\over2}\) oraz \(\sqrt a={1\over2}\)

Pozdrawiam

[shyam]

\(A(0,-5)\) is the common point of the two tangents

generic line passing through A has equation

\(y = mx - 5\) [1]

substitute in the equation of the parabola

\(y=x^2 + 3x + 4\\
\\
x^2 + 3x + 4 = mx - 5\\
\\
x^2 + x(3 - m) +9 =0\)

to be tangent, this equation must have two equal solutions \(x_1 = x_2\)

which means determinant = 0

\((3 - m)2 - 36 = 0\\
\\
3 - m = ± 6\\
\\
m = 3 ± 6\\
\\
m = - 3, m = 9\)

plugging into [1] the tangents have equations

\(y = -3x - 5\\
\\
y = 9x - 5\)

[Jerry]

\(A(0,-5)\) is the common point of the two tangents

Where did this conclusion come from?

\(y = -3x - 5\\
y = 9x - 5\)

These lines are not perpendicular!

I greet You