Rozwiąż nierówność

[avleyi]

Rozwiąż: \( \frac{|x-1|(x+3)}{x^{2}+x-2}\le x+3\)

[Jerry]

Dziedziną danej nierówności jest \(\rr\setminus\{-2,1\}\)

1. Zauważmy, że dla \(x=-3\) nierówność jest spełniona
2. dla \(x<-3\), po podzieleniu jej przez \(x+3<0\) otrzymamy
   \(\frac{-(x-1)}{(x+2)(x-1)}\ge1\\
   \frac{-1}{x+2}\ge1\quad|\cdot (x+2)\wedge (x+2)<0\\
   -1\le x+2\\
   x\ge-3\)
   co nie zachodzi w naszym przedziale określoności
3. dla \(x>-3\) otrzymamy
   \(\frac{|x-1|}{(x+2)(x-1)}\le1\)
   • dla \(x\in(-3;-2)\cup(-2;1)\) mamy
     \(\frac{-1}{x+2}\le1\\
     \frac{x+3}{x+2}\ge0\)
     W naszym przedziale: \(x\in(-2;1)\)
   • dla \(x>1\) mamy
     \(\frac{1}{x+2}\le1\quad|\cdot (x+2)\wedge (x+1)>0\\
     x\ge-1\)
     W naszym przedziale: \(x>1\)

Zbierając odpowiedzi: \(x\in\{-3\}\cup(-2;1)\cup(1;+\infty)\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia - liczyłem bez kartki!

[edited]
Graficzne sprawdzenie