Dla jakiej wartości parametru m....

[PATRO02]

Dla jakiej wartości m równanie \( (x−1)[(m+1)x^{2} − 2x + m + 1] = 0 \) ma dwa różne rozwiązania?
Wiadomo, że pierwszym rozwiązaniem jest x=1
Równanie będzie miało dwa pierwiastki, kiedy \( m+1=0 \to m=-1 \)?
Ponieważ wtedy:
-2x-1+1=0
-2x=0
x=0
Dobrze?

Jeszcze myślałem, żeby zakładać, że m nie jest równy 1 i wtedy:
\( (m+1)x^{2}-2x+m+1=0 \)
\( \Delta=4-4(m+1)(m+1)=4-4(m^2+2m+1)=4-4m^2-8m-4=-4m^2-8m\\
-4m^2-8m=0\\
-4m(m+2)=0
\)

Wtedy \( m=0 \vee m=-2 \)
Zatem \( m \in \{0;-2\} \) ???

[PATRO02]

Jeszcze m=-1

[Icanseepeace]

Równanie będzie miało dwa pierwiastki, kiedy \( m+1=0 \to m=-1 \)?
Ponieważ wtedy:
-2x-1+1=0
-2x=0
x=0
Dobrze?

Pod warunkiem, że to rozwiązanie będzie różne od 1. Warto o tym wspomnieć.

Jeszcze myślałem, żeby zakładać, że m nie jest równy 1 i wtedy:
\( (m+1)x^{2}-2x+m+1=0 \)
\( \Delta=4-4(m+1)(m+1)=4-4(m^2+2m+1)=4-4m^2-8m-4=-4m^2-8m
-4m^2-8m=0
-4m(m+2)=0
\)

Tutaj dodatkowo założenie, że to rozwiązanie jest różne od 1.
Brakuje również trzeciego przypadku: Równanie:
\( (m+1)x^2 - 2x + m + 1 = 0 \)
ma dwa rozwiązania z czego jedno jest równe 1.

[PATRO02]

Cholibka, aż tyle możliwości

[Icanseepeace]

Cholibka, aż tyle możliwości

Tylko 3:
\( 1^o \ \ a = 0 \wedge x_0 \neq 1 \\ 2^o \ \ a \neq 0 \wedge \Delta = 0 \wedge x_0 \neq 1 \\ 3^o \ \ a \neq 0 \wedge \Delta > 0 \wedge ( x_1 = 1 \vee x_2 = 1 ) \)