dowód nierówności o 2 zmiennych

[poetaopole]

Udowodnij, że dla dodatnich a i b zachodzi nierówność \( \frac{a ^{4}+b ^{4} }{ab} \ge \frac{(a+b) ^{2} }{2} \). Najfajniej bez nierówności pomiędzy średnimi.

[kerajs]

\( \frac{a ^{4}+b ^{4} }{ab} \ge \frac{(a+b) ^{2} }{2} \\
\frac{a ^{4}+b ^{4} }{ab} - \frac{(a+b) ^{2} }{2} \ge 0 \\
\frac{2a ^{4}-a^3b-2a^2b^2-ab^3+2b ^{4} }{2ab} \ge 0 \\
\frac{(2a ^{2}+3ab+2b^2)(a^2-2ab+b ^{2}) }{2ab} \ge 0\\
\frac{(2a ^{2}+3ab+2b^2)(a-b)^2 }{2ab} \ge 0\\




\)

[poetaopole]

Kerajs, do sfaktoryzowania licznika użyłeś aplikacji w telefonie? Nie wyobrażam sobie, jak 5 wyrazów można rozpisać w niedzielny poranek na 9 i skutecznie rozłożyć wielomian dwóch zmiennych. Nauczysz mnie?

[Icanseepeace]

Może wprost:
\(L=\frac{a^4 + b^4}{ab} = \frac{(a^2 + b^2)^2 + (a^2 - b^2)^2}{2ab} \geq \frac{(a^2 + b^2)^2}{2ab} = \frac{((a+b)^2 + (a-b)^2)^2}{8ab}
\geq \frac{(a+b)^4}{8ab} = \frac{(a+b)^2}{2} \cdot \frac{(a+b)^2}{4ab} =\\ \qquad= \frac{(a+b)^2}{2} \left( \frac{(a-b)^2}{4ab} + 1\right) \geq \frac{(a+b)^2}{2} = P\)

[poetaopole]

Umiałby ktoś pokazać, jaką drogą KERAJS doszedł z \(2a^4-a^3b-2a^2b^2-ab^3+2b^4\) do \((2a^2+3ab+2b^2)(a^2-2ab+b^2)\)?

[kerajs]

Oj, Tomaszu, Tomaszu. Błogosławieni co nie widzieli, a uwierzyli.

Wersja dla sprytnych:
\(W(a)=2a^4-a^3b-2a^2b^2-ab^3+2b^4\\
W(a=b)=0 \ \ \So \ \ W(a)=(a-b)(2a^3+a^2b-ab^2-2b^3)=(a-b)V(a)\\
V(a=b)=0 \ \ \So \ \ W(a)=(a-b)(a-b)(2a^2+3ab+2b^2)\)
Wersja dla małosprytnych, w tym i mnie:
\(2a^4-a^3b-2a^2b^2-ab^3+2b^4=a^2b^2 \left[ 2( \frac{a}{b} )^2- \frac{a}{b} -2- \frac{b}{a} +2( \frac{b}{a} )^2\right]= \\=a^2b^2 \left[ 2 ( \frac{a}{b} +\frac{b}{a} )^2- (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) -6\right]= a^2b^2 \left[ (\frac{a}{b} +\frac{b}{a} )- 2\right] \left[ 2(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) +3\right]= \\ =ab \left[ (\frac{a}{b} +\frac{b}{a} )- 2\right] ab \left[ 2(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) +3\right]=\left[ (a^2 +b^2 )- 2ab\right] \left[ 2(a^2+b^2 ) +3ab\right]
\)

[poetaopole]

Normalnie cuda, cuda niewidy! ale wszystko jasne - to najważniejsze

[Jerry]

Kerajs, do sfaktoryzowania licznika użyłeś aplikacji w telefonie?

Podważasz umiejętności fachowca ? To, tylko i aż, wiedza i lata praktyki!

[OT]
Karolinie Bielawskiej wystarczy być sobą, żeby pobudziła jurorów. Idze Świątek i Jej podobnym, poza wrodzonymi predyspozycjami, trzeba miesięcy systematycznych ćwiczeń! Bierz z Nich przykład i ćwicz

Pozdrawiam