równanie kwadratowe

[franco11]

Dla jakich wartości parametru p równanie \(x^2+(p+2)x -2p+1=0\) ma dwa rozwiązania, z których jedno jest ujemne,
a drugie większe od \(1\)?

[Jerry]

Z wzorów Viete'a:

1. Równanie jest kwadratowe dla \(p\in\rr\)
2. \(\Delta(p)=p^2+12p=p(p+12)\\ \Delta(p)>0\iff p\in(-\infty; -12)\cup (0;+\infty)\)
3. \(\begin{cases}x_1<0\\x_2>1\end{cases}\iff\left(\begin{cases}x_1<0\\x_2>0\end{cases}\wedge\begin{cases}x_1<1\\x_2>1\end{cases}\right)\)
   • \(\begin{cases}x_1<0\\x_2>0\end{cases}\iff x_1x_2<0\iff -2p+1<0\iff p>{1\over2}\)
   • \(\begin{cases}x_1<1\\x_2>1\end{cases}\iff (x_1-1)(x_2-1)<0\iff x_1x_2-(x_1+x_2)+1<0\iff \\
     \qquad \iff -2p+1+p+2+1<0\iff p>4\)

Wobec 1.-3. \(p\in(4;+\infty)\)

Albo
Parabolami sprzyjającymi, dla funkcji \( y=f(x)=x^2+(p+2)x -2p+1\), trzeba i wystarczy
\[\begin{cases}f(0)<0\\ f(1)<0\end{cases}\]
Pozdrawiam

[Jerry]

Parabolami sprzyjającymi, dla funkcji \( y=f(x)=x^2+(p+2)x -2p+1\), ...

Obrazek

Pozdrawiam