układ z parametrem

[attec18]

Wyznacz wartość parametru a , dla którego rozwiązania układu nierówności:
\(\begin{cases}
\log_{\frac{1}{3}}{(3^{x}-6a)}+\frac{2}{\log_{a}{3}}<x-3\\
\log_{\frac{1}{3}}{(3^{x}-18)}>x-5\\
\end{cases}\)
tworzą przedział o długości 1/3.

[Jerry]

• \(\log_{\frac{1}{3}}{(3^{x}-6a)}+\frac{2}{\log_{a}{3}}<x-3\wedge a>0\wedge a\ne1\wedge x>\log_36a\\
  \log_{\frac{1}{3}}\frac{(3^{x}-6a)}{a^2}<\log_{\frac{1}{3}}\frac{27}{3^x}\\
  \ldots\\ (3^x)^2-6a\cdot3^x-27a^2>0\\
  \ldots \\x\in(2+\log_3a;+\infty)\\ \)
• \(\log_{\frac{1}{3}}{(3^{x}-18)}>x-5\wedge x>\log_318\\
  \log_{\frac{1}{3}}{(3^{x}-18)}>\log_{\frac{1}{3}}\frac{3^{5}}{3^x}\\
  \ldots\\ (3^x)^2-18\cdot3^x-243<0\\ \ldots\\ x\in(2+\log_32; 3)\\ \)

1. Dla \(a\in(0;1)\cup(1;2)\) zbiorem rozwiązań układu jest przedział \((2+\log_32; 3)\). Ponieważ \(3-(2+\log_32)>{1\over3}\), to przypadek zaniedbujemy.
2. Dla \(a\in\langle2;3)\) zbiorem rozwiązań układu jest przedział \((2+\log_3a; 3)\).
   Aby warunki zadania były spełnione, musi
   \[\log_3a={2\over3}\iff a=\sqrt[3]9\]
3. \(a\ge3\So x\in\emptyset\)

Pozdrawiam