równanie kwadratowe

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
puxux
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 63
Rejestracja: 07 maja 2021, 14:52
Podziękowania: 22 razy

równanie kwadratowe

Post autor: puxux »

Dla jakich wartości parametru \(m\), równanie \(mx^2-x+m^2-2=0\) ma tylko całkowite pierwiastki?
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: równanie kwadratowe

Post autor: kerajs »

1) Gdy \(m=0\) to \(x=-2\)
2) Gdy \(m \neq 0\) to \(\frac{1}{m} \in C\) więc możliwe są tylko \(m=1 \vee m=-1\) , jednak dla tych wartości rozwiązania są nie całkowite.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3462
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: równanie kwadratowe

Post autor: Jerry »

  1. \(m=0\So x=-2\)
  2. \(m\ne0\)
    Jeśli istnieją \(x_1,x_2\in\zz\) to \(\begin{cases}x_1+x_2={1\over m}\in\zz\\ x_1x_2={m^2-2\over m}\in\zz\end{cases}\)
    • Jeśli \(m\in\zz\), to (z sumy) \(m\in\{-1,1\}\) i po sprawdzeniu: równanie nie ma pierwiastków albo ma niewymierne
    • Jeśli \(m\not\in\zz\), to (z sumy) \(m\in\qq\setminus\zz\) i musi istnieć \(k\in\zz\setminus\{-1,1\}\) takie, że \(m={1\over k}\).
      Wtedy (z iloczynu) \({m^2-2\over m}={1\over k}-2k\not\in\zz\)
Odpowiedź: \(m=0\)

Pozdrawiam

[edited] długo pisałem... ale zostawiam - rozstrzygnąłem przypadki \(m\in\rr\) :idea:
ODPOWIEDZ