równanie trygonometryczne

[kubass]

\(\cos x+\cos\left(x+{\pi\over3}\right)+\cos\left(x+{2\pi\over3}\right)=0\) dla \(x\in\langle0;2\pi\rangle\)

[Jerry]

Ponieważ
\(\cos\left(x+{2\pi\over3}\right)+\cos x=2\cos\frac{x+{2\pi\over3}+x}{2}\cos\frac{x+{2\pi\over3}-x}{2}=\\ \qquad=2\cos\left(x+{\pi\over3}\right)\cos{\pi\over3}=2\cos\left(x+{\pi\over3}\right)\cdot{1\over2}=\cos\left(x+{\pi\over3}\right)\)
to dane równanie jest równoważne
\[2\cos\left(x+{\pi\over3}\right)=0\]
Wykres i czytamy: \(x={\pi\over6}\vee x={7\pi\over6}\)

Pozdrawiam

[edited] trochę namieszałem - odpowiadałem w trybie edycji Twojego posta... ale już naprawiłem ten błąd!

[eresh]

\(\cos x+\cos\left(x+{\pi\over3}\right)+\cos\left(x+{2\pi\over3}\right)=0\) dla \(x\in\langle0;2\pi\rangle\)

\(\cos (x+\frac{\pi}{3})=\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\\
\cos(x+\frac{2}{3}\pi)=\cos x\cos\frac{2\pi}{3}-\sin x\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\\
\cos x+\cos(x+\frac{\pi}{3})+\cos(x+\frac{2\pi}{3})=0\\
\cos x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=0\\
\cos x-\sqrt{3}\sin x=0\\
\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=0\\
\cos \frac{\pi}{3}\cos x-\sin\frac{\pi}{3}\sin x=0\\
\cos(\frac{\pi}{3}+x)=0\\
x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\\)
wybieramy rozwiązania z podanego przedziału:
\(x\in \{\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\}\)