Dowód nierówności

[poetaopole]

Udowodnij \(x^{8} - x^{5}+ x^{2}-x+1>0\). Jakieś pomysły?

[kerajs]

1) dla liczb niedodatnich lewa strona jest sumą liczb nieujemnych ( i jest niemniejsza niż 1)
2) dla 0<x<1
zachodzi \(x^5<x^4\) więc
\(x^8-x^5+x^2-x+1>x^8-x^4+x^2-x+1=(x^4- \frac{1}{2})^2+ (x- \frac{1}{2})^2+ \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} >0 \)
3) dla x=1 lewa strona ma wartość 1
4) dla 1<x
zachodzi \(x^8>x^5\) oraz \(x^2>x\) więc
\((x^8-x^5)+(x^2-x)+1>1\)

[poetaopole]

Liczyłem, że uda się przekształcić to "na raz"

[Icanseepeace]

\( L = x^8−x^5+x^2−x+1 = \frac{1}{2} [ x^8 + (x^4 - x)^2 + (x-1)^2 + 1] > \frac{1}{2} > 0 = P \)
albo tak:
\( L = x^8 - x^5 + x^2 - x + 1 = (x^4 - \frac{1}{2}x)^2 + \frac{1}{2}x^2 + (\frac{1}{2}x - 1)^2 \ge 0 = P \)
+ komentarz dlaczego zero nie zostanie osiągnięte.

[poetaopole]

I to jest Boskie!! Dziękuję

[kerajs]

Widzę że już jest. Ja mam takie:
\( x^8 - x^5 + x^2 - x + 1 = (x^4 - \frac{1}{2}x)^2 + \frac{3}{4}(x-\frac{2}{3})^2+ \frac{2}{3} \)

[poetaopole]

Im mniej ułamków, tym bardziej eleganckie