nierówność wymierna

[franco11]

Wykaż, że jeśli \(a*b \neq 0\) i \(a^2+b^2 \ge \frac{3}{2} \), to \(2(a^4+b^4)>9\)

[radagast]

To nie jest prawda
np \(a=1, b= \frac{1}{ \sqrt{2} } \)

[Jerry]

Z porządku pomiędzy średnimi
\(\sqrt{{(a^2)^2+(b^2)^2\over2}}\ge {a^2+b^2\over2}\) i równość dla \(a^2=b^2\)
oraz założenia
\(a^2+b^2 \ge {3\over2}\)
mamy
\(\sqrt{{a^4+b^4\over2}}\ge {a^2+b^2\over2}\ge {3\over4}\)
czyli
\({a^4+b^4\over2}\ge{9\over16}\iff 2(a^4+b^4)\ge {9\over4}\)
Założenie \(ab\ne0\) niewiele wnosi i, jak napisała radagast, Twoja teza jest fałszywa...

Pozdrawiam