układ Cramera?

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
alamijo
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 20
Rejestracja: 03 gru 2021, 19:58
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

układ Cramera?

Post autor: alamijo »

Sprawdzić, że podany układ równań jest układem Cramera. Rozwiązać go dwoma sposobami
a) korzystając ze wzorów Cramera
b) korzystając z macierzy odwrotnej
\( \begin{cases}
-4 x + y - 2 z = 16\\
-2 x - 3 y + 3 z = -14\\
4 x + 5 y + z = 10\\
\end{cases} \)
Ostatnio zmieniony 14 gru 2021, 19:23 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu i wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: układ Cramera?

Post autor: panb »

alamijo pisze: 14 gru 2021, 18:14 Sprawdzić, że podany układ równań jest układem Cramera. Rozwiązać go dwoma sposobami
a) korzystając ze wzorów Cramera
\( \begin{cases}
-4 x + y - 2 z = 16\\
-2 x - 3 y + 3 z = -14\\
4 x + 5 y + z = 10\\
\end{cases} \)
Teraz już będziesz wiedziała jak się zabrać za Cramera.

\(W= \begin{vmatrix}-4&1&-2\\-2&-3&3\\4&5&1 \end{vmatrix}=12+20+12-24+60+2= 82\neq0\), więc układ równań jest układem Cramera

\(W_x=\begin{vmatrix}16&1&-2\\-14&-3&3\\10&5&1 \end{vmatrix}=-164,\quad W_y= \begin{vmatrix} -4&16&-2\\-2&-14&3\\4&10&1\end{vmatrix}=328,\quad W_z=\begin{vmatrix}-4&1&16\\-2&-3&-14\\4&5&10 \end{vmatrix} =-164\)

Wobec tego
\[x= \frac{W_x}{W}=-2,\quad y=\frac{W_y}{W}=4,\quad z= \frac{W_z}{W}= -2\]
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: układ Cramera?

Post autor: panb »

alamijo pisze: 14 gru 2021, 18:14 Sprawdzić, że podany układ równań jest układem Cramera. Rozwiązać go dwoma sposobami
b) korzystając z macierzy odwrotnej
\( \begin{cases}
-4 x + y - 2 z = 16\\
-2 x - 3 y + 3 z = -14\\
4 x + 5 y + z = 10\\
\end{cases} \)
Układ można zapisać w postaci macierzowej:
\[ \begin{bmatrix} -4&1&-2\\-2&-3&3\\4&5&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 16\\-14\\10\end{bmatrix} \So \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4&1&-2\\-2&-3&3\\4&5&1\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 16\\-14\\10\end{bmatrix}\]

Uwaga! Macierz główna stała z lewej strony macierzy niewiadomych, więc macierz odwrotna musi być po lewej stronie macierzy wyników - nie można tego zmieniać.

Pewnie jakoś was uczyli obliczać macierz odwrotną, więc ją tak policz. Powinno wyjść \[\begin{bmatrix} -4&1&-2\\-2&-3&3\\4&5&1\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{82} \begin{bmatrix}-18&-11&-3\\14&4&16\\ 2&24&14\end{bmatrix} \]

W takim razie \[\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\frac{1}{82} \begin{bmatrix}-18&-11&-3\\14&4&16\\ 2&24&14\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16\\-14\\10\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -2\\4\\-2\end{bmatrix} \]

Mamy rozwiązanie metodą macierzy odwrotnej. Metoda działa wtedy, gdy wyznacznik macierzy głownej nie jest równy zero (bo nie byłoby macierzy odwrotnej).
ODPOWIEDZ