równanie trygonometryczne

[anilewe_MM]

Rozwiąż równanie
\(\sin x\cos4x=1\)

[kacper218]

Jakiś własny pomysł?

[Jerry]

Ponieważ iloczyn ułamków właściwych jest ułamkiem właściwym, to aby zaszła równość, musi
\( \begin{cases}\sin x=-1\\\cos4x=-1 \end{cases} \vee \begin{cases}\sin x=1\\\cos4x=1 \end{cases} \)

Z 1. układu mamy
\((x=-{\pi\over2}+k\cdot2\pi\wedge 4x=\pi+m\cdot2\pi)\wedge k,m\in\cc\)
zatem
\(4(-{\pi\over2}+k\cdot2\pi)=\pi+m\cdot2\pi\quad|\colon{\pi}\)
\(-2+8k=1+2m\)
wobec niezgodności parzystości stron równania, jest ono sprzeczne w zbiorze liczb całkowitych

Z 2. układu mamy
\((x={\pi\over2}+k\cdot2\pi\wedge 4x=m\cdot2\pi)\wedge k,m\in\cc\)
zatem
\(4({\pi\over2}+k\cdot2\pi)=m\cdot2\pi\quad|\colon{\pi}\)
\(2+8k=2m\)
\(m=4k+1\)

Ostatecznie
\(x={1\over4}(4k+1)\cdot2\pi={\pi\over2}+k\cdot2\pi\ \wedge k\in\cc\)

Pozdrawiam