równanie trygonometryczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anilewe_MM
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 19 razy
Płeć:

równanie trygonometryczne

Post autor: anilewe_MM » 15 paź 2021, 14:27

Rozwiąż równanie
\(\sin x\cos4x=1\)

Awatar użytkownika
kacper218
Expert
Expert
Posty: 4071
Rejestracja: 02 paź 2009, 14:33
Lokalizacja: Radzymin
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1380 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: kacper218 » 15 paź 2021, 15:30

Jakiś własny pomysł?
Pomogłem? Daj plusika :D
Masz pytania? Napisz priv
Przepisywanie prac do \(\LaTeX- a\)

Korepetycje Radzymin i okolice. :)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1569
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 728 razy

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Jerry » 15 paź 2021, 16:08

Ponieważ iloczyn ułamków właściwych jest ułamkiem właściwym, to aby zaszła równość, musi
\( \begin{cases}\sin x=-1\\\cos4x=-1 \end{cases} \vee \begin{cases}\sin x=1\\\cos4x=1 \end{cases} \)

Z 1. układu mamy
\((x=-{\pi\over2}+k\cdot2\pi\wedge 4x=\pi+m\cdot2\pi)\wedge k,m\in\cc\)
zatem
\(4(-{\pi\over2}+k\cdot2\pi)=\pi+m\cdot2\pi\quad|\colon{\pi}\)
\(-2+8k=1+2m\)
wobec niezgodności parzystości stron równania, jest ono sprzeczne w zbiorze liczb całkowitych

Z 2. układu mamy
\((x={\pi\over2}+k\cdot2\pi\wedge 4x=m\cdot2\pi)\wedge k,m\in\cc\)
zatem
\(4({\pi\over2}+k\cdot2\pi)=m\cdot2\pi\quad|\colon{\pi}\)
\(2+8k=2m\)
\(m=4k+1\)

Ostatecznie
\(x={1\over4}(4k+1)\cdot2\pi={\pi\over2}+k\cdot2\pi\ \wedge k\in\cc\)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .