równanie wykładnicze

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
viGor027
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 10 sie 2021, 16:32
Podziękowania: 15 razy
Płeć:

równanie wykładnicze

Post autor: viGor027 » 14 paź 2021, 18:32

Poproszę z wyjaśnieniem, narzędziami licealnymi. Dałem rade zrobić do momentu ściągnięcia wartości bezw. potem brak pomysłów co dalej :P

rozwiąż równanie \((\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x = 6\)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2464
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Re: równanie wykładnicze

Post autor: kerajs » 14 paź 2021, 18:49

Clou tego zadania to zależność:
\( \sqrt{3-2 \sqrt{2} }= \frac{1}{\sqrt{3+2 \sqrt{2} }} \)
Przyjmując \(t=(\sqrt{3+2 \sqrt{2} })^x\) równanie przybiera postać
\(t^2-6t+1=0\)
o rozwiązaniach \(t=3-2 \sqrt{2} \) lub \(t=3+2 \sqrt{2}\)
a stąd \(x= -2 \)lub \(x=2\)

viGor027
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 10 sie 2021, 16:32
Podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: równanie wykładnicze

Post autor: viGor027 » 14 paź 2021, 18:57

Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć? Bo chciałbym jej postać ogólną znaleźć(w sensie na literkach jak to działa, i w jakich okolicznościach)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2464
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Re: równanie wykładnicze

Post autor: kerajs » 14 paź 2021, 19:04

viGor027 pisze:
14 paź 2021, 18:57
Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć?
Mogę, o ile wyjaśnisz o jaką własność pytasz.

\(3+2 \sqrt{2}\) i \(3-2 \sqrt{2}\) są liczbami odwrotnymi, podobnie jak ich potęgi.

viGor027
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 10 sie 2021, 16:32
Podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: równanie wykładnicze

Post autor: viGor027 » 14 paź 2021, 19:31

kerajs pisze:
14 paź 2021, 19:04
viGor027 pisze:
14 paź 2021, 18:57
Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć?
Mogę, o ile wyjaśnisz o jaką własność pytasz.

\(3+2 \sqrt{2}\) i \(3-2 \sqrt{2}\) są liczbami odwrotnymi, podobnie jak ich potęgi.
chodzi mi o to jak zapisać to za pomocą literek, bo raczej nie można generalnie zapisać, że \(x-y\) to odwrotność liczby \(x+y\), bo wtedy gołym okiem widać że to się nie zgadza

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2464
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Re: równanie wykładnicze

Post autor: kerajs » 14 paź 2021, 20:18

Pary można zapisać tak: \(x+ \sqrt{x^2-1} \) i \(x- \sqrt{x^2-1} \) dla \(|x|>1\)
O to chodzi?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5049
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 17 razy
Otrzymane podziękowania: 2012 razy
Płeć:

Re: równanie wykładnicze

Post autor: panb » 14 paź 2021, 23:03

viGor027 pisze:
14 paź 2021, 18:57
Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć? Bo chciałbym jej postać ogólną znaleźć(w sensie na literkach jak to działa, i w jakich okolicznościach)
Jeśli pomnożysz \((3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)=1\) z wzoru skróconego mnożenia np.
Skoro \((3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)=1 \So 3-2\sqrt2= \frac{1}{3+2\sqrt3} \), no nie?

Wniosek: tak można robić, jeśli (x-y)(x+y)=1.
O to chodziło