Równanie wielomianowe

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
viGor027
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 10 sie 2021, 16:32
Podziękowania: 15 razy
Płeć:

Równanie wielomianowe

Post autor: viGor027 » 03 paź 2021, 12:48

Cześć mam do rozwiązania równanie wielomianowe:
\(2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 = 0\)
Jednak rzecz w tym, że tutaj tab. Hornera nie pomoże(żadne ze stworzonych \(\frac{p}{q}\) nie jest m.zerowym), wiem że rozwiązanie trzeba przybliżyć, i że wynosi ono około -0.65, natomiast nie wiem jak do tego dojść. Próbowałem już jakoś przekształcać/wyciągać przed nawias, ale nic z tego nie wyszło.

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1569
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 728 razy

Re: Równanie wielomianowe

Post autor: Jerry » 03 paź 2021, 12:56

Funkcja
\(y=f(m)=2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 \)
jest ciągła, rosnąca (pochodna jest dodatnia dla \(m\in\rr\)), czyli różnowartościowa
oraz
\( \begin{cases}f(-1)<0\\ f(0)>0 \end{cases} \)
Na mocy tw. Darbouix posiada miejsce zerowe w przedziale \((-1,0)\)
Pozostają Ci przybliżenia... metodą siecznych, stycznych albo po prosty tablicować ten przedział z jakąś dokładnością (np. \(0,05\))

Pozdrawiam

[edited] No i droga przez wzory Cardano :idea:
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 140 razy
Płeć:

Re: Równanie wielomianowe

Post autor: Icanseepeace » 03 paź 2021, 13:28

Po pierwsze należy zaznaczyć, że nie zawsze rozwiązanie równania jest jedyną drogą do rozwiązania zadania.
Druga sprawa to fakt iż mogłeś się wcześniej pomylić w obliczeniach.
Samo równanie:
Tak samo jak w przypadku równania kwadratowego wystarczy podstawić do znanych wzorów które można znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wn ... 5%9Bcienne
\( 2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 = 0 \So u^3 + \frac{2}{3}u + \frac{13}{54} = 0 \)
gdzie \( m = u - \frac{1}{3} \)
Dalej:
\( \Delta = (\frac{2}{3^2})^3 + (\frac{13}{2^2 \cdot 3^3})^2 = \frac{2^3}{3^6} + \frac{13^2}{2^4 3^6} = \frac{2^7 + 13^2}{3^6 \cdot 2^4} =
\frac{9 \cdot 33}{2^4 \cdot 3^6} > 0 \)

Dlatego istnieje tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Biorąc pierwiastek z delty dostajemy:
\( \sqrt{\Delta} = \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2} \)
Pierwiastek równania dany jest wzorem:
\( u = \sqrt[3]{ \frac{ -13}{2^2 \cdot 3^3} + \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2}} + \sqrt[3]{ \frac{ -13}{2^2 \cdot 3^3} - \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2}} \)
Aby wyznaczyć m, wystarczy wrócić z podstawieniem:
\( m = u - \frac{1}{3} = ... \)

viGor027
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 10 sie 2021, 16:32
Podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: Równanie wielomianowe

Post autor: viGor027 » 03 paź 2021, 14:41

@Icanseepeace właśnie liczyłem na to, że się pomylilem wcześniej w obliczeniach, jednak okazało się, że nie :P