Cześć mam do rozwiązania równanie wielomianowe:
\(2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 = 0\)
Jednak rzecz w tym, że tutaj tab. Hornera nie pomoże(żadne ze stworzonych \(\frac{p}{q}\) nie jest m.zerowym), wiem że rozwiązanie trzeba przybliżyć, i że wynosi ono około -0.65, natomiast nie wiem jak do tego dojść. Próbowałem już jakoś przekształcać/wyciągać przed nawias, ale nic z tego nie wyszło.
Równanie wielomianowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3528
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: Równanie wielomianowe
Funkcja
\(y=f(m)=2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 \)
jest ciągła, rosnąca (pochodna jest dodatnia dla \(m\in\rr\)), czyli różnowartościowa
oraz
\( \begin{cases}f(-1)<0\\ f(0)>0 \end{cases} \)
Na mocy tw. Darbouix posiada miejsce zerowe w przedziale \((-1,0)\)
Pozostają Ci przybliżenia... metodą siecznych, stycznych albo po prosty tablicować ten przedział z jakąś dokładnością (np. \(0,05\))
Pozdrawiam
[edited] No i droga przez wzory Cardano
\(y=f(m)=2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 \)
jest ciągła, rosnąca (pochodna jest dodatnia dla \(m\in\rr\)), czyli różnowartościowa
oraz
\( \begin{cases}f(-1)<0\\ f(0)>0 \end{cases} \)
Na mocy tw. Darbouix posiada miejsce zerowe w przedziale \((-1,0)\)
Pozostają Ci przybliżenia... metodą siecznych, stycznych albo po prosty tablicować ten przedział z jakąś dokładnością (np. \(0,05\))
Pozdrawiam
[edited] No i droga przez wzory Cardano
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
Po pierwsze należy zaznaczyć, że nie zawsze rozwiązanie równania jest jedyną drogą do rozwiązania zadania.
Druga sprawa to fakt iż mogłeś się wcześniej pomylić w obliczeniach.
Samo równanie:
Tak samo jak w przypadku równania kwadratowego wystarczy podstawić do znanych wzorów które można znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wn ... 5%9Bcienne
\( 2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 = 0 \So u^3 + \frac{2}{3}u + \frac{13}{54} = 0 \)
gdzie \( m = u - \frac{1}{3} \)
Dalej:
\( \Delta = (\frac{2}{3^2})^3 + (\frac{13}{2^2 \cdot 3^3})^2 = \frac{2^3}{3^6} + \frac{13^2}{2^4 3^6} = \frac{2^7 + 13^2}{3^6 \cdot 2^4} =
\frac{9 \cdot 33}{2^4 \cdot 3^6} > 0 \)
Dlatego istnieje tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Biorąc pierwiastek z delty dostajemy:
\( \sqrt{\Delta} = \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2} \)
Pierwiastek równania dany jest wzorem:
\( u = \sqrt[3]{ \frac{ -13}{2^2 \cdot 3^3} + \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2}} + \sqrt[3]{ \frac{ -13}{2^2 \cdot 3^3} - \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2}} \)
Aby wyznaczyć m, wystarczy wrócić z podstawieniem:
\( m = u - \frac{1}{3} = ... \)
Druga sprawa to fakt iż mogłeś się wcześniej pomylić w obliczeniach.
Samo równanie:
Tak samo jak w przypadku równania kwadratowego wystarczy podstawić do znanych wzorów które można znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wn ... 5%9Bcienne
\( 2m^3 + 2m^2 + 2m + 1 = 0 \So u^3 + \frac{2}{3}u + \frac{13}{54} = 0 \)
gdzie \( m = u - \frac{1}{3} \)
Dalej:
\( \Delta = (\frac{2}{3^2})^3 + (\frac{13}{2^2 \cdot 3^3})^2 = \frac{2^3}{3^6} + \frac{13^2}{2^4 3^6} = \frac{2^7 + 13^2}{3^6 \cdot 2^4} =
\frac{9 \cdot 33}{2^4 \cdot 3^6} > 0 \)
Dlatego istnieje tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Biorąc pierwiastek z delty dostajemy:
\( \sqrt{\Delta} = \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2} \)
Pierwiastek równania dany jest wzorem:
\( u = \sqrt[3]{ \frac{ -13}{2^2 \cdot 3^3} + \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2}} + \sqrt[3]{ \frac{ -13}{2^2 \cdot 3^3} - \frac{3 \sqrt{33}}{3^3 \cdot 2^2}} \)
Aby wyznaczyć m, wystarczy wrócić z podstawieniem:
\( m = u - \frac{1}{3} = ... \)
Re: Równanie wielomianowe
@Icanseepeace właśnie liczyłem na to, że się pomylilem wcześniej w obliczeniach, jednak okazało się, że nie 