liczby wymierne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 140
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

liczby wymierne

Post autor: inter » 03 cze 2021, 19:30

Niech \(a\) będzie liczbą całkowitą. Pokaż że dla każdej liczby rzeczywistej x, \(x^3 < 3\), obie liczby \( \sqrt{3 −x^2}\) oraz \( \sqrt{a − x^3}\) nie mogą być wymierne.

Icanseepeace
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 247
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 5 razy
Otrzymane podziękowania: 139 razy
Płeć:

Re: liczby wymierne

Post autor: Icanseepeace » 05 cze 2021, 12:59

\(1)\) Jeżeli \( x \) jest liczbą niewymierną to jedna z liczb \( x^2 \ , \ x^3 \) jest liczbą niewymierna.
Różnica liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną zatem jedna z liczb \(3 - x^2 \ , \ a - x^3 \) będzie liczbą niewymierną. Pierwiastek kwadratowy z liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. Sprzeczność
\(2)\) Jeżeli \( x \) jest liczbą wymierną to połóżmy \( x = \frac{p}{q} \ , (p,q) = 1 \)
Wtedy:
\( \sqrt{3 - x^2} = \sqrt{\frac{3q^2 - p^2}{q^2}} = \frac{\sqrt{3q^2 - p^2}}{q}\)
Co oznacza, że \( 3q^2 - p^2 \) musi być kwadratem liczby naturalnej:
\( 3q^2 - p^2 = n^2 \So 3q^2 = p^2 + n^2 \)
Lewa strona jest podzielna przez \(3\) zatem i prawa musi być podzielna przez \(3\):
\( 3| (p^2 + n^2) \So 3 | p \wedge 3 | n \)
ale to oznacza, że \(9|(p^2 + n^2)\), więc \( 3|q \) co jest sprzeczne z \( (p,q) = 1 \)
P.S.
Założenie \( x^3 < 3 \) jest jakieś wadliwe. Nie wnosi nic ciekawego jak i też kłóci się z dziedziną naturalną dla pierwszego pierwiastka: \( |x| < \sqrt{3} \). Dziwnie sformułowanie zadanie.

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1542
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 712 razy

Re: liczby wymierne

Post autor: Jerry » 05 cze 2021, 14:25

Icanseepeace pisze:
05 cze 2021, 12:59
.... Dziwnie sformułowanie zadanie.
inter ma tę przypadłość

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .