dowód nierówności

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 140
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

dowód nierówności

Post autor: inter » 09 maja 2021, 07:53

Wykaż ze dla \(a>0, b>0\) zachodzi nierówność \(\left( \frac{a+1}{b+1}\right)^{b+1} \ge \left( \frac{a}{b}\right)^{b}\)
Ostatnio zmieniony 17 cze 2021, 21:27 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]

fruwak
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 17 cze 2021, 17:25

Re: dowód nierówności

Post autor: fruwak » 17 cze 2021, 18:10

Możemy przepisać następująco:
\(
\frac{(a+1)^{b+1}}{a^b}\geq \frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}
\)

Czyli wystarczy udowodnić, że funkcja \(f: \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+\) określona wzorem \(f(x)=\frac{(x+1)^{b+1}}{x^b}\) dla pewnego \(b> 0\) osiąga swoje minimum w punkcie \(x=b\).
Funkcja jest różniczkowalna, obliczamy pochodną:
\(
f'(x)=\frac{(x+1)^b(x-b)}{x^{b+1}}
\)

i wnioskujemy, że rzeczywiście pochodna jest na przedziale \((0, b]\) malejąca, a na \([b, \infty)\) rosnąca, osiąga więc swoje minimum w punkcie \(b\).

Uwaga:
Jeśli szukamy ładniejszego dowodu, to dla \(b\geq a\) nierówność wynika natychmiast z nierówności \(\frac{a+1}{a}\geq\frac{b+1}{b}\), a dla \(a>b\) i \(b\in (0, 1]\) można udowodnić wprost z nierówności Bernoulliego (lewą stronę szacujemy z dołu przez \(1+a-b\), prawą z góry tak samo). Ale dowód Bernoulliego też korzysta z analizy matematycznej.