Nierówność z logarytmem

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cheruille
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 22 mar 2021, 00:20
Podziękowania: 26 razy
Płeć:

Nierówność z logarytmem

Post autor: cheruille » 18 kwie 2021, 13:48

Rozwiąż nierówność: \(x+ \log_ \frac{1}{2}(12-2^{-x})+5<0 \)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1703
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 800 razy

Re: Nierówność z logarytmem

Post autor: Jerry » 18 kwie 2021, 14:00

Po określeniu dziedziny: \(12-2^x>0\)
nierówność jest równoważna kolejno:
\(\log_ \frac{1}{2}(12-2^{-x})<-(x+5) \)
\(\log_ \frac{1}{2}(12-2^{-x})<\log_{1\over2}2^{x+5} \)
wobec malenia f. logarytmicznej
\(12-2^{-x}>2^{x+5}\qquad|\cdot2^x \)
\(12\cdot2^x-1>32\cdot(2^x)^2\)
po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej \(2^x=t>0\)
do odpowiedzi blisko...

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 153 razy
Płeć:

Re: Nierówność z logarytmem

Post autor: Icanseepeace » 18 kwie 2021, 15:03

Jerry pisze:
18 kwie 2021, 14:00
wobec malenia f. logarytmicznej
chyba funkcji wykładniczej?

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1703
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 800 razy

Re: Nierówność z logarytmem

Post autor: Jerry » 18 kwie 2021, 17:26

Icanseepeace pisze:
18 kwie 2021, 15:03
Jerry pisze:
18 kwie 2021, 14:00
wobec malenia f. logarytmicznej
chyba funkcji wykładniczej?
Z porządku pomiędzy logarytmami przeszedłem do porządku pomiędzy ich argumentami, zatem... dlaczego wykładniczej?

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 153 razy
Płeć:

Re: Nierówność z logarytmem

Post autor: Icanseepeace » 18 kwie 2021, 17:36

Zamotałem się.
Na siłę chciałem skorzystać z definicji: \( x_1 < x_2 \So f(x_1) > f(x_2) \)
zamiast z jej wersji otrzymanej po zastosowaniu prawa kontrapozycji.