Zadanie z parametrem i logarytmami

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cheruille
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 22 mar 2021, 00:20
Podziękowania: 26 razy
Płeć:

Zadanie z parametrem i logarytmami

Post autor: cheruille » 15 kwie 2021, 22:05

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność \( \log_ {\frac{ \sqrt{2} }{2} }(m^2x^2+2mx+2m+1)< \log_ { \frac{ \sqrt{2} }{2} }(x^2+2mx+2m) \) jest spełniona dla wszystkich \(x \in R\)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1703
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 800 razy

Re: Zadanie z parametrem i logarytmami

Post autor: Jerry » 15 kwie 2021, 22:49

1) Dziedzina musi być rzeczywista, czyli
\(\left(m=0\vee m^2-4m^2(2m+1)<0\right)\wedge 4m^2-8m<0\)
2) Ponieważ \(0<{\sqrt2\over2}<1\), to tożsamościowa powinno być nierówność
\(m^2x^2+2mx+2m+1>x^2+2mx+2m \)
\((m^2-1)x^2+1>0\)
zatem
\(m^2-1\ge0\)
Ostatecznie zebranie 1) i 2) doprowadzi do odpowiedzi...

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

cheruille
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 22 mar 2021, 00:20
Podziękowania: 26 razy
Płeć:

Re: Zadanie z parametrem i logarytmami

Post autor: cheruille » 16 kwie 2021, 21:34

Jerry pisze:
15 kwie 2021, 22:49
1) Dziedzina musi być rzeczywista, czyli
\(\left(m=0\vee m^2-4m^2(2m+1)<0\right)\wedge 4m^2-8m<0\)
2) Ponieważ \(0<{\sqrt2\over2}<1\), to tożsamościowa powinno być nierówność
\(m^2x^2+2mx+2m+1>x^2+2mx+2m \)
\((m^2-1)x^2+1>0\)
zatem
\(m^2-1\ge0\)
Ostatecznie zebranie 1) i 2) doprowadzi do odpowiedzi...

Pozdrawiam
Dziękuję bardzo, a mogę zapytać dokładniej jak dojść do punktu 1)? Czemu to musi być mniejsze od zera?

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 15696
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9348 razy
Płeć:

Re: Zadanie z parametrem i logarytmami

Post autor: eresh » 16 kwie 2021, 21:44

cheruille pisze:
16 kwie 2021, 21:34

Dziękuję bardzo, a mogę zapytać dokładniej jak dojść do punktu 1)? Czemu to musi być mniejsze od zera?
Bo tylko wtedy funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych. "To" jest wyróżnikiem (deltą)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍