Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych \(a,\ b\) prawdziwa jest nierówność:
\( (a^3+b^3+1)( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+1) \ge (a+b+1)^2\)
Dowód algebraiczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3528
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: Dowód algebraiczny
Dowód wynika z nierówności pomiędzy średnimi: potęgową i arytmetyczną oraz arytmetyczną i harmoniczną:
\(1^\circ\ \sqrt[3]{{a^3+b^3+1\over3}}\ge{a+b+1\over3}\iff a^3+b^3+1\ge{(a+b+1)^3\over9}\)
\(2^\circ\ {a+b+1\over3}\ge\frac{3}{{1\over a}+{1\over b}+{1\over1}}\iff{1\over a}+{1\over b}+1\ge{9\over a+b+1} \)
Pozostaje wymnożyć...
Pozdrawiam
\(1^\circ\ \sqrt[3]{{a^3+b^3+1\over3}}\ge{a+b+1\over3}\iff a^3+b^3+1\ge{(a+b+1)^3\over9}\)
\(2^\circ\ {a+b+1\over3}\ge\frac{3}{{1\over a}+{1\over b}+{1\over1}}\iff{1\over a}+{1\over b}+1\ge{9\over a+b+1} \)
Pozostaje wymnożyć...
Pozdrawiam