Dowód algebraiczny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MicTyb
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 22
Rejestracja: 27 mar 2021, 00:34
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Dowód algebraiczny

Post autor: MicTyb » 27 mar 2021, 16:25

Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych \(a,\ b\) prawdziwa jest nierówność:
\( (a^3+b^3+1)( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+1) \ge (a+b+1)^2\)
Ostatnio zmieniony 27 mar 2021, 19:43 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; wystarczy jeden post, aby zacząć wątek!

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1704
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 802 razy

Re: Dowód algebraiczny

Post autor: Jerry » 27 mar 2021, 20:16

Dowód wynika z nierówności pomiędzy średnimi: potęgową i arytmetyczną oraz arytmetyczną i harmoniczną:
\(1^\circ\ \sqrt[3]{{a^3+b^3+1\over3}}\ge{a+b+1\over3}\iff a^3+b^3+1\ge{(a+b+1)^3\over9}\)
\(2^\circ\ {a+b+1\over3}\ge\frac{3}{{1\over a}+{1\over b}+{1\over1}}\iff{1\over a}+{1\over b}+1\ge{9\over a+b+1} \)
Pozostaje wymnożyć...

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .