Wzory viete'a.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Wzory viete'a.

Post autor: gr4vity »

Pytanie 1) Czy wzorów Viete'a dla wielomianów trzeciego stopnia można używać tylko jeżeli ma się pewność że istnieją 3 pierwiastki ?
Pytanie 2) Jeżeli muszę mieć tą wiedzę to czy w takim zadaniu:
Dane jest równanie: \(x^3+3,5x^2-23x+10,5\) oblicz iloczyn pierwiastków wielomianu. Wystarczy użyć wzoru? Czy muszę sprawdzić czy ten wielomian ma na pewno 3 pierwiastki?

Nie za bardzo czuje kiedy mogę wykorzystać te wzory Viete'a...
Ostatnio zmieniony 26 mar 2021, 20:38 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; więcej szacunku dla francuskich prawników z XVI wieku!
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Wzory viete'a.

Post autor: radagast »

1) Zawsze możesz używać wrorów Viete'a tylko musisz pamiętać , że one działają w zbiorze liczb zespolonych.
To znaczy: wielomian n-tego stopnia ma n pierwiastków w ciele liczb zespolonych. Ich sumę i iloczyn wyznaczysz ze wzorów Viete'a .
Jeżeli jeden z pierwiastków będzie nierzeczywisty ( nie będzie należał do R), to suma i iloczyn też (więc w zbiorze R się "nie zgodzi" ).
Dobry przykład jest tu: https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=32&t=93931
2) To równanie ma 3 rzeczywiste pierwiastki \((-7, \frac{1}{2} , 3 )\) więc tu nie ma problemu
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Wzory viete'a.

Post autor: gr4vity »

Dziękuję bardzo właśnie o to mi chodziło!
Mam jeszcze jedno pytanie, jak mógłbym w tym zadaniu sprawdzić czy ma 3 rzeczywiste pierwiastki?
Bo tak na prawdę, ani tego pogrupować nie idzie, ani z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu :/
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Wzory viete'a.

Post autor: gr4vity »

I jeszcze jedno pytanie: czy gdyby to równanie nie miało 3 rzeczywistych pierwiastków tylko np. 2 to miałoby to jakieś znaczenie w kontekście zadania? Bo w końcu pytanie jest o iloczyn 3 pierwiastków a nie o 3 pierwiastków rzeczywistych albo zespolonych itd.
W skrócie czy jak nie jest polecenie sprecyzowane to mogę bez sprawdzania czy ma wielomian pierwiastki rzeczywiste wykorzystać te wzory?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Wzory viete'a.

Post autor: radagast »

Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu jak najbardziej :
\(x^3+3,5x^2-23x+10,5=0 \iff 2x^3+7x^2-46x+21=0 \iff ... \)
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Wzory viete'a.

Post autor: gr4vity »

gr4vity pisze: 26 mar 2021, 20:20 I jeszcze jedno pytanie: czy gdyby to równanie nie miało 3 rzeczywistych pierwiastków tylko np. 2 to miałoby to jakieś znaczenie w kontekście zadania? Bo w końcu pytanie jest o iloczyn 3 pierwiastków a nie o 3 pierwiastków rzeczywistych albo zespolonych itd.
W skrócie czy jak nie jest polecenie sprecyzowane to mogę bez sprawdzania czy ma wielomian pierwiastki rzeczywiste wykorzystać te wzory?
Zerkniesz jeszcze na to pytanko proszę ?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Wzory viete'a.

Post autor: Jerry »

gr4vity pisze: 26 mar 2021, 20:20 ... mogę bez sprawdzania czy ma wielomian pierwiastki rzeczywiste wykorzystać te wzory?
Założeniem wzorów Viete'a, np. dla wielomianu stopnia trzeciego, jest:
Istnieją \(x_1,\ x_2,\ x_3\) takie, że \(w(x_1)=w(x_2)=w(x_3)=0\)
W praktyce często zakładamy, że istnieją, rozwiązujemy problem i sprawdzamy czy rzeczywiście istnieją.

Pozdrawiam
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Wzory viete'a.

Post autor: gr4vity »

Jerry pisze: 26 mar 2021, 21:51
Założeniem wzorów Viete'a, np. dla wielomianu stopnia trzeciego, jest:
Istnieją \(x_1,\ x_2,\ x_3\) takie, że \(w(x_1)=w(x_2)=w(x_3)=0\)
W praktyce często zakładamy, że istnieją, rozwiązujemy problem i sprawdzamy czy rzeczywiście istnieją.

Pozdrawiam
Rozumiem natomiast, przykładowo w tym poście zapytałem o takie zadanie : https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=32&t=93931
Mimo że ten wielomian ma jeden pierwiastek rzeczywisty i to równy \(0,06\) to odpowiedzią jest, że suma tych pierwiastków jest równa \( \frac{2}{5} \). Z tego wnioskuję, że jeżeli mam do czynienia z pytaniem: oblicz iloczyn pierwiastków wielomianu \(W(x)=x^3....\) albo sumę pierwiastków, to nie muszę sprawdzać czy istnieją rzeczywiste czy nie, po prostu wykorzystuję wzór, prawda?
ODPOWIEDZ