Dla jakich wartości parametru ,,m'' funkcja \(f(x)=x^2+5mx+4m\) posiada dwa pierwiastki których suma czwartych potęg jest minimalna?
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Odpowiedź: \(m=0\)
Zadanie z parametrem.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Zadanie z parametrem.
Wyróżnik powyższego równania wynosi \(9m^2\) i jest zawsze nieujemny.
\(x_1^4+x_2^4=(x_1+x_2)^4-x_1x_2(4x_1^2+6x_1x_2+4x_2^2)=\\ =
(x_1+x_2)^4-x_1x_2(4(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)=(-5m)^4-4m(\color{red}{4\cdot}(-5m)^2-2\cdot 4m)=\\ = m^2(625m^2-\color{red}{4}00m+32)\)
Wyrażenie w nawiasie jest zawsze dodatnie, a \(m^2\) jest nieujemna. Całość przyjmuje minimalną wartość równą zero dla \(m=0\).
[edited by Jerry] poprawka
\(x_1^4+x_2^4=(x_1+x_2)^4-x_1x_2(4x_1^2+6x_1x_2+4x_2^2)=\\ =
(x_1+x_2)^4-x_1x_2(4(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)=(-5m)^4-4m(\color{red}{4\cdot}(-5m)^2-2\cdot 4m)=\\ = m^2(625m^2-\color{red}{4}00m+32)\)
Wyrażenie w nawiasie jest zawsze dodatnie, a \(m^2\) jest nieujemna. Całość przyjmuje minimalną wartość równą zero dla \(m=0\).
[edited by Jerry] poprawka
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3525
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1930 razy
Re: Zadanie z parametrem.
Skoro "dwa", to \(\Delta>0\iff m\in(-\infty;0)\cup\left({16\over25};+\infty\right)\)
i dla \(m=0\) równanie ma jeden, podwójny pierwiastek...
Pozdrawiam
PS. kerajs: zgubiłeś "czwórkę"..., zaraz ją wstawię
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3525
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1930 razy
Re: Zadanie z parametrem.
Wg mnie \(\Delta(m)=25m^2-16m\)
Po poprawce nie jest już tak przyjemnie... Trzeba zoptymalizować
\(f(m)=625m^4-400m^3+32m^2\wedge D=(-\infty;0\rangle\cup\left\langle{16\over25};+\infty\right)\)
(przedziały domknąłem pomimo wcześniejszej uwagi, myśląc pozytywnie o dojściu do danej odpowiedzi...)
Niesympatyczne, ale policzalne - ekstrema poza dziedziną, decydują wartości w kresach przedziałów określoności...
Pozdrawiam