Równanie z logarytmami.

[gr4vity]

Dla jakich wartości parametru ,,m'' równanie \(( \log_ \frac{1}{2} x)^2+2\log_ \frac{1}{2} x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania większe od 1.
Czy takie rozwiązanie jest poprawne? Niestety nie mam odpowiedzi do tego :
\(t=\log_ \frac{1}{2} x \wedge t \in \rr \)
\(t^2+2t+m=0\)
Aby równanie miało rozwiązanie większe od 1 to: \(t<0\). Zatem warunki do równania kwadratowego:
\( \Delta >0 \wedge t_1\cdot t_2>0 \wedge t_1+t_2<0\)
\(1) \Delta >0 \So 4-4m>0 \So m<1 \)
\( 2) t_1\cdot t_2>0 \So \frac{m}{1}>0 \So m>0 \)
Trzeci warunek jest zawsze spełniony zatem \(m \in (0,1)\)
Z góry bardzo dziękuję za pomoc

[Jerry]

Wg mnie - OK, dopisałbym tylko \(D=\rr_+\)

Pozdrawiam

[kerajs]

Moim zdaniem problematyczne jest miejsce:

\(t^2+2t+m=0\)
Aby równanie miało rozwiązanie większe od 1 to: \(t<0\).

Rozumiem ideę, lecz nie została ona jednoznacznie przedstawiona. Można nawet mylnie (mimo oczywistej sprzeczności) sądzić, iż cytowane zdanie odnosi się do cytowanego równania.

Przykładowa poprawiona wersja :
Aby pierwotne równanie miało dwa różne rozwiązania większe od 1, to równanie \(t^2+2t+m=0\) powinno posiadać dwa różne ujemne pierwiastki.