Wielomian z parametrem.

[gr4vity]

Dla jakich wartości parametru ,,m'' rozwiązaniem równania: \(x^3+2mx^2-x+1=0\) jest liczba całkowita.
Rozwiązałem to zadanie w ten sposób:
Z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych kandydatami są : \(x=1, x=-1\)
\(W(1)=1+2m\)
\(1+2m=0 \)
\(m=- \frac{1}{2} \)
Z drugiego równania wyjdzie to samo więc nie będę się tutaj rozpisywał.
I teraz moje pytanie czysto hipotetyczne: czy gdyby ,,m'' było takie, że wyrażenie ,,2m'' nie byłoby liczbą całkowitą to należałoby odrzucić to rozwiązanie ponieważ byłoby sprzeczne z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych?
Czyli przykładowo gdyby \(m= \frac{1}{4} \) to należałoby odrzucić to rozwiązanie?

[Jerry]

Założeniem wykorzystanego przez Ciebie twierdzenia jest \(2m\in\zz\)

... gdyby \(m= \frac{1}{4} \) to należałoby odrzucić to rozwiązanie?

Tak!

Pozdrawiam

[kerajs]

W tym zadaniu parametrów m jest nieskończenie wiele. Wystarczy wstawić dowolną całkowitą (i różną od zera) wartość x i wyliczyć m.

Moim zdaniem niedokładnie przepisałeś to zadanie.

[gr4vity]

Hmm faktycznie, polecenie jest prosto z książki.

[gr4vity]

@kerajs
Jest jeszcze taki przykład:
Dla jakich wartości parametru m: pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^3+mx^2-75 \)jest liczba pierwsza.
Tutaj analogicznie zaproponowane rozwiązanie to skorzystanie z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Czyli pierwiastkami może być \(x=3\) lub \(x=5\) i dalej wychodzą z dwa parametry ,,m''. Czy tutaj również polecenie jest błędne i takich parametrów jest nieskończenie wiele?

[kerajs]

Oczywiście. Wystarczy do równania:
\(m=\frac{75-x^3}{x^2}\)
wstawiać kolejne liczby pierwsze.

Przypuszczam że intencją autora było całkowite m , lecz nie jest to nigdzie napisane.

[gr4vity]

Dziękuję bardzo za pomoc, oczywiście gdyby było napisane, że \( m \in\) całkowitych to z tego twierdzenia należy robić tak?

[kerajs]

Wtedy owszem, stosuj to twierdzenie.

Trochę się ofuknąłeś na niedokładne przepisanie, prawda? Niepotrzebnie, gdyż było to najbardziej prawdopodobne wyjaśnienie. Ale skoro nie Ty, to zawinił autor zadania.

[panb]

Oczywiście. Wystarczy do równania:
\(m=\frac{75-x^3}{x^2}\)
wstawiać kolejne liczby pierwsze.

Przypuszczam że intencją autora było całkowite m , lecz nie jest to nigdzie napisane.

Niekoniecznie. Przecież \(m\) musi być całkowite inaczej twierdzenie o dzielnikach wolnego wyrazu nie działa.
Wielomian musi mieć całkowite współczynniki.

[kerajs]

Tak, wielomian musi mieć współczynniki całkowite aby zastosować twierdzenie o pierwiastku wymiernym. To oczywiste.
Jednak wcale nie musi mieć całkowitych współczynników aby posiadać pierwiastek naturalny, w tym także i pierwszy.
Np: dla m=-268/49 pierwiastkiem jest liczba 7