Nierówność z wielomianem + reszta z dzielenia wielomianów

[alksandra4]

Reszta z dzielenia wielomianu\( W(x) = x^4 + x^3 + px^2 + qx + 2\) przez \((x^2+1)\) jest równa \((-2x + 6)\). Rozwiąż nierówność \(W(x) > 0\).

Proszę o pomoc, bo nie za bardzo wiem, jak ruszyć to zadanie.
Zauważyłam, że dla \(x = -3\), \(W(x)\) dzieli się bez reszty, jednak nie wiem co dalej

[Jerry]

Rozwiąż równość tożsamościową
\( x^4 + x^3 + px^2 + qx + 2\equiv (x^2+1)(x^2+bx+c)+(-2x + 6)\)

Pozdrawiam

[grdv10]

Bardzo fajne rozwiązanie wychodzi z zastosowaniem liczb zespolonych. Otóż\[w(x)=p(x)(x^2+1)+(-2x+6).\]Wtedy \(w(i)=-2i+6.\) Zatem\[1-i-p+qi+2=-2i+6,\]skąd łatwo wyliczamy \(p=-3,q=-1.\) Po obliczeniach \(w(x)=(x+2)(x-1)^2(x+1)\) i łatwo rozwiązać nierówność.

Poziom mojego rozumowania przekracza program szkoły średniej, więc maturzysta może mało z tego wiedzieć. Ale nic nie kosztuje podzielić się tą metodą. Powyżej mamy rozwiązanie szkolne.