Równania

[LuckyLuck]

Jak rozwiązać równanie \(\ln (1+x)+ \frac{x}{1 +x} =0\)

[grdv10]

Zakładamy, że \(x>-1.\) Przenosimy na drugą stronę:\[\frac{x}{x+1}=-\ln(x+1).\]Po prostych przekształceniach\[1-\frac{1}{x+1}=\ln\frac{1}{x+1}.\]Teraz wstawiamy \(t=\frac{1}{x+1}>0\) i dochodzimy do równania\[\ln t=1-t.\] Albo jeszcze lepiej:\[t+\ln t=1.\]Funkcja po lewej stronie jest rosnąca jako suma dwóch funkcji rosnących. Przyjmuje wartość \(1\) dla \(t=1\), więc jest to jedyne rozwiązanie równania. Dlatego jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania jest \(x=0\).

Znacznie ciekawsze jest równanie\[\ln(x+1)-\frac{x}{x+1}=0.\]W wyniku powyższych zabiegów przyjmie ono postać\[\ln t=t-1.\]Prosta \(y=t-1\) jest styczna do krzywej \(y=\ln t\) w punkcie \(1\). Więc równanie zachodzi dla \(t=1\). Ponieważ funkcja logarytmiczna jest ściśle wklęsła, to \(\ln t<t-1\) dla \(t\ne 1.\) Więc znów jedynym rozwiązaniem jest \(t=1\), czyli \(x=0.\)

Tu masz link do rysunku zrobionego Desmosem dla obu równań.
https://www.desmos.com/calculator/v0rctdrsxc