Dowodzenie zadanie Zadanie nr 8430509

[mlodyg56]

Witam natknąłem się na zadanie: Wykaż że \(x^8 + x^2 =2(x^4+x-1)\) ma tylko jedno miejsce zerowe.

I zastanawiam się czy moje rozwiązanie jest poprawne. Mianowicie rozwiązałem to schematem Hornera i wyszło mi że wielomian ten nie jest podzielny przez \((x-1)\) oznacza to że \(x =1\) to jedyne miejsce zerowe. Czy takie rozwiązanie jest poprawne w 100%?

[eresh]

Witam natknąłem się na zadanie: Wykaż że x^8 + x^2 =2(x^4+x-1) ma tylko jedno miejsce zerowe.

I zastanawiam się czy moje rozwiązanie jest poprawne. Mianowicie rozwiązałem to schematem Hornera i wyszło mi że wielomian ten nie jest podzielny przez (x-1) oznacza to że x =1 to jedyne miejsce zerowe. Czy takie rozwiązanie jest poprawne w 100%?

Jeśli wielomian jest podzielny przez dwumian \(x-a\), to \(a\) jest miejscem zerowym tego wielomianu, więc coś jest nie tak z Twoim rozwiązaniem

[Jerry]

Ja bym zaproponował: dla \(x\in\rr\) mamy
\(w(x)=x^8-2x^4 +1+ x^2-2x+1 =(x^4-1)^2+(x-1)^2\ge0\)
i równość zachodzi dla
\(x^4-1=0\wedge x-1=0 \)
skąd wynika teza

Pozdrawiam

[janusz55]

\( (x^4 - 1)^2 + (x-1)^2 \geq 0 \)

\( (x^2 -1)^2\cdot (x^2+ 1)^2 + (x-1)^2 \geq 0 \)

\( (x -1)^2\cdot (x+1)^2\cdot (x^2 +1)^2+(x-1)^2 \geq 0 \)

\( (x-1)^2[(x+1)^2 (x^2 +1)^2 + 1] \geq 0 \)

Równość dla zera zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

\( (x-1)^2 = 0, \)

\( x -1 = 0,\)

\( x = 1.\)

Iloczyn (nie suma) \( a\cdot b = 0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( a = 0 \vee b = 0. \)

Z porównania do zera sumy dwóch składników: \( (x^4 -1)^2 = 0 \) \( (x-1)^2 = 0 \) wynika, że \( x = 1 \) lub \( x = -1,\)

ale suma tych dwóch składników dla \( x = -1 \) jest różna od zera.

Z tego, że suma dwóch składników ma być równa zeru nie wynika, że oba składniki muszą być równe zeru.

Na przykład \( 3 + (-3) = 0, \ \ 3, -3 \neq 0. \)

[Jerry]

Z tego, że suma dwóch składników ma być równa zeru nie wynika, że oba składniki muszą być równe zeru.

Na przykład \( 3 + (-3) = 0, \ \ 3, -3 \neq 0. \)

Jak to się ma do rozstrzyganego problemu...
Sugerujesz,że może być:
\((x^4-1)^2=3\wedge (x-1)^2=-3 \)


Pozdrawiam

[janusz55]

Z sumy dwóch składników równej zeru nie wynika, że jeden i drugi składnik jest równy zeru.

Na przykład suma dwóch liczb przeciwnych różnych od zera np. \( 3 + (-3) = 0 \) a liczby te są różne od zera.