Czy tak można rozbijać sobie nierówności?
Jakiś amok umysłowy przyćmił mi logiczne myślenie i wolę się upewnić: \(|x^2+16x+524|>|x^7+524x^2+3|\) \((x^2+16x+524>x^7+524x^2+3 ) \vee ( x^2+16x+524<-x^7-524x^2-3)\)
Jestem na 99% pewny, że jest to dopuszczalne i tak dalej, ale jeden przykład zamącił mi w głowie i wolę się upewnić, z góry dziękuję za odpowiedź
Ja byłbym z tym bardzo ostrożny. Wydaje mi się, że strony nierówności podanych przez ciebie mogą się różnić zależnie od xa. Wszystko zależy od tego, gdzie wyrażenia pod wartością bezwzględną mają taki sam znak, a gdzie inny. Chodzi mi o to, że faktycznie
lewa strona musi leżeć między prawą, a jej przeciwnością, lecz zależnie od miejsca jedno może być nad drugim lub odwrotnie. Proszę mnie poprawić, jeśli się mylę.
Młodociany całkowicz pisze: ↑08 lut 2021, 14:33
Ja byłbym z tym bardzo ostrożny. Wydaje mi się, że strony nierówności podanych przez ciebie mogą się różnić zależnie od xa. Wszystko zależy od tego, gdzie wyrażenia pod wartością bezwzględną mają taki sam znak, a gdzie inny. Chodzi mi o to, że faktycznie
lewa strona musi leżeć między prawą, a jej przeciwnością, lecz zależnie od miejsca jedno może być nad drugim lub odwrotnie. Proszę mnie poprawić, jeśli się mylę.
Mógłbyś podać przykład w którym użycie metody podanej w poście się nie zgadza?
Wyobraź sobie wykres \(x^3\). Wyobraź sobie również wykres \(-x^3.\) Nierówność jest spełniona, gdy wykres \(x^2 - 6\) leży pomiędzy dwoma pierwszymi wykresami.
A w zasadzie w tych punktach, w których to zachodzi.
Da się to łatwo wykazać, wystarczy rozbić na dwa przypadki i sprawdzić, jak będzie się zachowywała prawa wartość bezwzględna.
W moim odczuciu twoje rozumowanie byłoby dobre, gdyby wartość bezwzględna była tylko po jednej stronie.
\(|x^2+16x+524|>|x^7+524x^2+3|\iff (x^2+16x+524)^2>(x^7+524x^2+3)^2\)
zatem \((x^7+524x^2+3)^2-(x^2+16x+524)^2<0\\
[(x^7+524x^2+3)-(x^2+16x+524)][(x^7+524x^2+3)+(x^2+16x+524)]<0\)
A może tak. \(x^2+16x+524>0\) dla wszystkich \(x\in\rr\).
Szukamy więc takich x, że \(|x^7+524x^2+3|<x^2+16x+524\)
Ponieważ najmniejsza wartość trójmianu \(x^2+16x+524\) jest równa 460, więc nierówność zamienia się na taką: \(|x^7+524x^2+3|<460\)
Z nią już można wyczyniać to co zwykle.
panb pisze: ↑08 lut 2021, 15:59
A może tak. \(x^2+16x+524>0\) dla wszystkich \(x\in\rr\).
Szukamy więc takich x, że \(|x^7+524x^2+3|<x^2+16x+524\)
Ponieważ najmniejsza wartość trójmianu \(x^2+16x+524\) jest równa 460, więc nierówność zamienia się na taką: \(|x^7+524x^2+3|<460\)
Z nią już można wyczyniać to co zwykle.
Nie, to z 460 nie jest prawdą. Zostaje nierówność
Szukamy więc takich x, że \(|x^7+524x^2+3|<x^2+16x+524\)
To na pewno jest ok i wartość bezwzględna jest po jednej tylko stronie.
Uogólnieniem mojego wcześniejszego postu w tym wątku mogą być formalne fakty: \[|a|<|b|\\ a^2< b^2 \iff (a-b)(a+b)<0\\
\begin{cases}a<b\\ a>-b \end{cases}\vee\begin{cases}a>b\\ a<-b \end{cases} \]
oraz \[|a|\ge|b|\\ a^2\ge b^2 \iff (a-b)(a+b)\ge0\\
\begin{cases}a\le b\\ a\le-b \end{cases}\vee\begin{cases}a\ge b\\ a\ge-b \end{cases} \]
Ale postać iloczynowa jest bardzo wygodna...
