uklad rownan

[mefikx]

Dany jest układ równań \(\begin{cases}3x+2y=7m+3\\-x+5y=9m+16\end{cases}\). Wiedząc, że para \((x,y)\) jest rozwiązaniem tego układu, znajdź najmniejszą wartość wyrażenia \(y^2-4x\). Dla jakiej wartości parametru \(m(m\in R)\) jest ona osiągana?

[grdv10]

Widać, że układ jest oznaczony, bo jego wyznacznik jest różny od zera. Wyznacz \(x,y\) (w zależności od \(m\)) oraz wylicz \(y^2-4x\). Dostaniesz pewien trójmian kwadratowy, którego wartość najmniejszą i stosowny parametr \(m\) już łatwo wyznaczysz.

Po obliczeniach: \(y^2-4x=4m^2+8m+13\) ma wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli, czyli dla \(m=-1.\) Wartość ta wynosi \(9\).