Nierówność trygonometryczna

[Januszgolenia]

Rozwiąż nierówność \(\sin2x+2\sin x \ge \cos x+1\text{ w przedziale }\langle 0,2 \pi \rangle\).

[radagast]

Rozwiąż nierówność \(sin2x+2sinx \ge cosx+1 w przedziale <0,2 \pi >.\)

\(\sin 2x+2\sin x \ge \cos x+1\) w przedziale \(<0,2 \pi >\)
\(2\sin x \cos x+2\sin x \ge \cos x+1\)
\(2\sin x( \cos x+1) \ge \cos x+1\)
\(2\sin x (\cos x+1) -(\cos x+1)\ge 0\)
\( (\cos x+1)(2\sin x-1)\ge 0\)
\( 2(\cos x+1)(\sin x- \frac{1}{2} )\ge 0\)
\(\cos x=-1 \vee \sin x- \frac{1}{2}\ge 0\)
\(x=\pi \vee x \in < \frac{ \pi }{6},\frac{ 5\pi }{6} >\)