uzasadnij nierówność

[franco11]

Wykaż że dla x>0 i y>0 prawdziwa jest nierówność: \(x^4+y^4+1>x^3y+xy^3\)

[grdv10]

Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę mamy \(x^4-x^3y-xy^3+y^4+1=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)+1>0,\) bo oba wyrażenia w nawiasach są nieujemne. Widać, że mamy mocniejszą tezę, że lewa strona jest \(\geqslant 1\) i to nie tylko dla \(x,y\) dodatnich, ale dla dowolnych \(x,y\).

Jak na to wpadłem? Wyrażenia zawierające \(x,y\) są razem czwartego stopnia i dla \(x=y\) mamy \(x^4+y^4=x^3y+xy^3.\) Po przeniesieniu na lewo i potraktowaniu jako wielomian zmiennej \(x\) z pierwiastkiem \(y\), można schematem Hornera lub przez zwykłe grupowanie wyrazów łatwo podzielić to przez \(x-y\). Stąd ten rozkład na czynniki.

Skąd masz takie zadanie? Bo na maturę rozszerzoną jest za trudne, choć rozwiązanie zajmuje jedną linijkę.

[franco11]

Matura próbna Nowa Era 2 dni temu

[radagast]

Nie jest za trudne. Ja to zrobiłam tak:
\(x^4+y^4+1>x^3y+xy^3 \iff \)
\(x^4-x^3y+y^4-xy^3 +1->0 \iff \)
\(x^3(x-y) +y^3(y-x)+1>0 \iff \)
\(x^3(x-y) -y^3(x-y)+1>0 \iff \)
\((x^3 -y^3)(x-y)+1>0\)
Zauważmy że liczby \(x-y\) oraz \(x^3-y^3\) mają jednakowy znak.
Zatem ich iloczyn jest nieujemny więc po dodaniu jedynki mamy liczbę dodatnią

[grdv10]

Też zastanawiałem się nad tą redakcją dowodu, Ale stwierdziłem, że wymaga to odwołania się do monotoniczności funkcji sześciennej. Wspomniany fakt nieujemności tego iloczynu leży już w sferze pewnej kultury matematycznej. Dlatego rozłożyłem dalej powołując się na własności trójmianu kwadratowego.

Widać też pewne niechlujstwo układających zadania. Mam tu na myśli to, że nierówność nie jest optymalna oraz że zachodzi dla dowolnych liczb, nie tylko dodatnich. Nadmiar założeń. W książce Szlenka jest taki dowcip: dlaczego sułtan turecki nosi zielone szelki? Po to, żeby mu nie opadły spodnie. To o nadmiarze zbędnych założeń.