Równanie \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\) dla \(a,b,c,d \in \rr\) :
Umiałby ktoś w fajny sposób wyjaśnić czemu takie równanie może nie mieć rozwiązań?
Równanie z niewiadomymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Równanie z niewiadomymi
Wszystko z powodu \(x^4\). Dla dodatnich i ujemnych iksów wartości wielomianu z lewej strony są dodatnie i nie może się zdarzyć, że wszystkie są większe od zera.
Gdyby najwyższa potęga była \(x^5\), to dla dodatnich odpowiednio dużych miałaby wartości dodatnie, a dla ujemnych (być może bardzo ujemnych) wartości ujemne, więc musiałaby kiedyś przyjąć wartość zero.
Przy wielomianach parzystego stopnia takiego "musu" nie ma.
(sposób wyjaśnienia zależy od tego na jakim poziomie nauczania jesteś, mam nadzieję, że w razie potrzeby przełożysz to sobie na potrzebny język matematyki.)
Gdyby najwyższa potęga była \(x^5\), to dla dodatnich odpowiednio dużych miałaby wartości dodatnie, a dla ujemnych (być może bardzo ujemnych) wartości ujemne, więc musiałaby kiedyś przyjąć wartość zero.
Przy wielomianach parzystego stopnia takiego "musu" nie ma.
(sposób wyjaśnienia zależy od tego na jakim poziomie nauczania jesteś, mam nadzieję, że w razie potrzeby przełożysz to sobie na potrzebny język matematyki.)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3462
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1898 razy
Re: Równanie z niewiadomymi
Albo:
Każdy wielomian stopnia czwartego można zapisać jako iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego. Czy one mają pierwiastki - decydują ich wyróżniki... może się zdarzyć tak, że oba są ujemne...
Np.
\(w(x)=(x^2+1)(x^2-x+1)=\cdots\)
nie ma pierwiastków i równanie \(w(x)=0\) nie ma rozwiązań!
Pozdrawiam
Każdy wielomian stopnia czwartego można zapisać jako iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego. Czy one mają pierwiastki - decydują ich wyróżniki... może się zdarzyć tak, że oba są ujemne...
Np.
\(w(x)=(x^2+1)(x^2-x+1)=\cdots\)
nie ma pierwiastków i równanie \(w(x)=0\) nie ma rozwiązań!
Pozdrawiam