Uzasadnij nierówność

[solar0123]

Witam, proszę o pomoc w zadaniu z książki Teraz matura Poziom rozszerzony Zestaw D zadanie 17
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność:
\((x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1\geq (x+2)(y+2)\)

Wymnożyłem wszystko przez siebie i uprościłem co w rezultacie dało mi
\((x+y)^2+(x+1)(y+1)≥0\)

Z góry dziękuje za pomoc!

[eresh]

Witam, proszę o pomoc w zadaniu z książki Teraz matura Poziom rozszerzony Zestaw D zadanie 17
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność:
(x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1≥(x+2)(y+2)

Wymnożyłem wszystko przez siebie i uprościłem co w rezultacie dało mi
\((x+y)^2+(x+1)(y+1)≥0\)

Z góry dziękuje za pomoc!

\((x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1\geq (x+2)(y+2)\\
x^2+3x+2+y^2+3y+2+1-xy-2x-2y-4\geq 0\\
x^2+y^2-xy+x+y+1\geq 0\\
2x^2+2y^2-2xy+2x+2y+2\geq 0\\
(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2\geq 0\)

[Panko]

Jeśli nie widać jak pozwijać do zupełnych kwadratów to można też iść drogą przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej
\( W(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y+1\)
Ponieważ wielomian powyższy jest symetryczny \( W(x,y]=W(y,x)\) wybór zmiennej do funkcji kwadratowej z parametrem jest bez znaczenia .
\( f(x)= x^2 +x(1-y) +y^2+y+1 \)
\( \Delta = -3(y+1)^2 \)
\( f(x) = 1(x- \frac{y-1}{2} )^2 + \frac{3(y+1)^2 }{4}\)
Widać , też że wartość 0 jest osiągana .
.................................................................................................................................................
Pytanie ?
Jeżeli wielomian dwóch zmiennych \( W(x,y) \) nie jest symetryczny i wiedząc ,że jest nieujemny oraz współczynniki przy \( x^2,y^2 \) są dodatnie to czy wybór zmiennej w pierwszym podejściu ma znaczenie ?
Inaczej : względem jednej zmiennej funkcja kwadratowa daje sumę kwadratów , to czy względem drugiej zmiennej też musi dać sumę kwadratów ?
................................................................................................................................................
Warto też zrobić rachunki gdy potraktujemy \( W(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y+1\) jak krzywą stopnia drugiego i sprowadzić ją w dwóch krokach do postaci kanonicznej.

[janusz55]

Z symetrii wynika, że też musi dać sumę kwadratów.

[Panko]

W pytaniu założyłem ,że \( W(x,y) \) nie jest symetryczny .