Równanie z parametrem

[Zaeraann]

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(mx^2+(m-3)x-m+2=0\) ma co najmniej jedno dodatnie rozwiązanie.

Zrobiłem to w taki sposób jak poniżej, lecz niestety nie do końca zgadzają mi się przedziały. Powinno być: \((- \infty ,1> \cup < \frac{9}{5},+ \infty ) \). Nie wiem, co zrobiłem źle w poniższych rozwiązaniu

\(a=m, \:\: b=m-3,\:\: c=-m+2\)

I przypadek:
\(a=0 => m=0 \\
-3x+2=0 => x= \frac{2}{3}>0 \)
\(m=0\)

II przypadek:
\( a \neq 0 \: \wedge \: \Delta = 0 \: \wedge \: x_0>0\\~\\

\Delta =0 \\
(m-3)^2-4(-m+2)m=0\\
m_1=1 \vee m_2= \frac{9}{5} \\~\\

m_1=1\\
x_0 > 0 => \frac{-b}{2a} >0 \\
\frac{-(m-3)}{2m} = \frac{-(1-3)}{2} = 1 > 0\)
\(m=1\)
\( \\~\\

m_2= \frac{9}{5} \\
x_0 > 0 => \frac{-b}{2a} >0 \\
\frac{-(m-3)}{2m} = \frac{-( \frac{9}{5} -3)}{2( \frac{9}{5} )} = \frac{1}{3} > 0\)
\(m= \frac{9}{5} \)

III przypadek:
\(
\begin{equation}
\begin{cases}
x \neq 0 => m \neq 0\\
\Delta >0\\
x_1>0\\
x_2>0
\end{cases}
\end{equation}
\)

\( \Delta >0 -> 5m^2-14m+9>0\\
m \in (- \infty ,1) \cup ( \frac{9}{5},+ \infty )\\~\\

x_1>0 \wedge x_2>0\\\)
Z tego wynika, że:
\(
x_1 \cdot x_2>0 => \frac{c}{a} >0 \\
x_2 + x_2>0 => \frac{-b}{a}>0 \\~\\

\frac{-m+2}{m}>0 \\
m \in (0,2) \\~\\

\frac{-(m-3)}{m}>0 \\
m \in (0,3) \\~\\
\)
Teraz po wzięciu części wspólnej założeń z 3 przypadku, wychodzi mi taki przedział:
\(m \in (0,1) \cup ( \frac{9}{5},2 )\)

Suma ze wszystkich przypadków:
\(m \in <0,1> \cup < \frac{9}{5},2) \)

[panb]

"co najmniej jedno dodatnie rozwiązanie" - tu jest pies pogrzebany, czyli \(x_1>0 \vee x_2>0\)

[Zaeraann]

"co najmniej jedno dodatnie rozwiązanie" - tu jest pies pogrzebany, czyli \(x_1>0 \vee x_2>0\)

Czyli najpierw muszę wziąć sumę przedziałów \(x_1>0 \vee x_2>0\), a następnie z tej sumy i \( \Delta >0\) wyznaczyć część wspólną?
Jak mogę w takim razie sprawdzić kiedy te miejsca zerowe będą większe od zera?
\(
\begin{equation}
\begin{cases}
m \neq 0 \\
\Delta >0 \\
x_1>0 \vee x_2>0
\end{cases}
\end{equation}

\)

[Jerry]

Bez utraty ogólności, niech \(x_2\) będzie większym z pierwiastków. Wtedy
\((x_1>0 \vee x_2>0)\iff \left( \begin{cases}x_1<0\\x_2>0 \end{cases} \vee\begin{cases}x_1=0\\x_2>0 \end{cases} \vee\begin{cases}x_1>0\\x_2>0 \end{cases}\right)\)
i dalej z wzorów Viete'a...

Pozdrawiam

[Zaeraann]

Bez utraty ogólności, niech \(x_2\) będzie większym z pierwiastków. Wtedy
\((x_1>0 \vee x_2>0)\iff \left( \begin{cases}x_1<0\\x_2>0 \end{cases} \vee\begin{cases}x_1=0\\x_2>0 \end{cases} \vee\begin{cases}x_1>0\\x_2>0 \end{cases}\right)\)
i dalej z wzorów Viete'a...

Pozdrawiam

W takim razie, czy dobrze wyprowadziłem poniższe wzory? Nie jestem pewien, czy zrobiłem to w poprawny sposób.

\(
\begin{equation}
\begin{cases}
m \neq 0 \\
\Delta >0 \\


( \frac{c}{a} < 0 ) \vee ( \frac{c}{a} \ge 0) \vee \begin{cases}
\frac{-b}{a} > 0 \\
\frac{c}{a} > 0
\end{cases}


\end{cases}
\end{equation}
\)

[Jerry]

W takim razie, czy dobrze wyprowadziłem poniższe wzory? Nie jestem pewien, czy zrobiłem to w poprawny sposób.

\(
\begin{equation}
\begin{cases}
m \neq 0 \\
\Delta >0 \\


( \frac{c}{a} < 0 ) \vee \color{red}{( \frac{c}{a} \ge 0)} \vee \begin{cases}
\frac{-b}{a} > 0 \\
\frac{c}{a} > 0
\end{cases}


\end{cases}
\end{equation}
\)

Zamiast czerwonego powinno być
\( \begin{cases} {c\over a}=0\\{-b\over a}>0\end{cases}\)

Pozdrawiam