Zadanie z parametrem

[Hacker000]

Dla jakich wartości \(m\) równanie \((m-1) x^2 - 2 (m+1) x + m - 2 = 0\) ma dwa różne pierwiastki ujemne?

[korki_fizyka]

coś z tego pojąłeś
jeśli nie, to przepatrz jeszcze to i tamto.

[Jerry]

Alternatywnie
Można zauważyć, że rozwiązaniem równania
\((m-1) x^2 - 2 (m+1) x + m - 2 = 0\)
nie jest \(x=1\), zatem jest ono równoważne
\({x^2+2x+2\over x^2-2x+1}=m\)
Rozpatrz
\(y_L=f(x)={x^2+2x+2\over x^2-2x+1}\wedge x\in\rr_-\)
i odczytaj odpowiedź z wykresu

Pozdrawiam

[edited]

[Galen]

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki,gdy wyróżnik jest dodatni.Jeśli mają to być pierwiastki ujemne,to spełnią warunki z wzorów Viete'a...
\(a=m-1\\b=-2m-2\\c=m-2\\m\neq 1\\\Delta>0\;\;\;\;i\;\;\;\;x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}>0\;\;\;\;i\;\;\;\;x_1+x_2=\frac{-b}{a}<0\)
Trzeba rozwiązać te trzy nierówności i wybrać część wspólną otrzymanych zbiorów dla m.
\(\Delta=(-2m-2)^2-4(m-1)(m-2)=4m^2+8m+4-4m^2+12m-8=20m-4>0\\m>0,2\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;m\neq 1\\m\in(\frac{1}{5};1)\cup (1;+\infty)\)

\(\frac{c}{a}>0\\\frac{m-2}{m-1}>0\;\;\;\;czyli\;\;\;\;m\in (-\infty;1)\cup(2;+\infty)\)

\(\frac{-b}{a}<0\\\frac{2m+2}{m-1}<0\;\;\;\;czyli\;\;\;\;m\in (-1;1)\)

Zauważ,że wartości m,które spełniają wszystkie trzy warunki to m z przedziału (0,2;1)
\(m\in (\frac{1}{5};1)\)