Równania i nierówności

[daroS0]

Proszę o rozwiązanie równania i nierówności dla \( \alpha \in \left\langle -2 \pi, 2 \pi \right\rangle\)
\(\sqrt{3} \cdot \tg \alpha = -1\)
\( \sin ^2 \alpha < 1\)

[kerajs]

1)
\( \alpha \in \left\{\frac{- 7\pi }{6} , \frac{- \pi }{6}, \frac{5 \pi }{6} \frac{11 \pi }{6} \right\}\)
2)
\( \alpha \in \left\langle -2 \pi, 2 \pi \right\rangle \bez \left\{ \frac{ -3\pi }{2}\frac{ - \pi }{2},\frac{ \pi }{2}, \frac{ 3\pi }{2}\right\} \)

[daroS0]

1)
\( \alpha \in \left\{\frac{- 7\pi }{6} , \frac{- \pi }{6}, \frac{5 \pi }{6} \frac{11 \pi }{6} \right\}\)
2)
\( \alpha \in \left\langle -2 \pi, 2 \pi \right\rangle \bez \left\{ \frac{ -3\pi }{2}\frac{ - \pi }{2},\frac{ \pi }{2}, \frac{ 3\pi }{2}\right\} \)

Mógłbyś mi proszę wyjaśnić jak doszedłeś do tego?
W 1) zacząłem tak:
\(\sqrt{3} \cdot \tg \alpha = -1 |: \sqrt{3}\)
\(\tg \alpha = -1/\sqrt{3}\)
Usuwam niewymierność i mam \(\tg \alpha = -\sqrt{3}/3\) Ujemny jest w II i IV ćw.

2) \(-1 < sin \alpha < 1\) i dalej próbowałem sobie na wykresie to przedstawić i wychodziło mi \({ - \pi }/{2}\) i \({ \pi }/{2}\)

[Jerry]

W zastępstwie: narysuj w dziedzinie wykresy
1) stron równania
2) stron nierówności równoważnej danej: \(|\sin\alpha|<1\)

Pozdrawiam

[daroS0]

W zastępstwie: narysuj w dziedzinie wykresy
1) stron równania
2) stron nierówności równoważnej danej: \(|\sin\alpha|<1\)

Pozdrawiam

1)
\(\sqrt{3} \cdot \tg \alpha = -1\)
\(\tg \alpha = \frac{-1}{\sqrt{3}}\)
Usuwam niewymierność i mam \(\tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(tg_{\alpha 0}\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ujemny jest w II i IV ćwiartce więc II ćw. \(\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{5}{6}\pi \) a IV ćw. \(2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{11}{6}\pi\) a skąd się właśnie bierze \( -\frac{7}{6}\pi \) oraz \( \frac{-\pi }{6}\).

2) Tutaj właśnie bym prosił jak mogę to rozpisać. Nie wiem co mam zrobić dalej gdy mam \(-1 < sin \alpha < 1\)

[kerajs]

1) Można też tak:
\(\tg \alpha = \frac{-1}{ \sqrt{3} } \\
\tg -\alpha = \frac{1}{ \sqrt{3} } \\
-\alpha_0 = \frac{ \pi }{ 6 } \\
\alpha_0 = \frac{ -\pi }{ 6 } \\
\alpha = \frac{ -\pi }{ 6 } +k \pi \)
Zadany przedział ograniczy ilość rozwiązań do czterech powyższych.

2) \(\sin \alpha \neq 1 \ \ \ \wedge \ \ \ \sin \alpha \neq -1 \)
rozwiąż równanie \(\sin \alpha = 1 \) oraz \(\sin \alpha = -1 \) , a uzyskane rozwiązania odejmij od zadanego przedziału.