Nierówność z wartością bezwzględną

[celia11]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu:

\(|1+ \frac{4}{x} | \le 3\)

Dziękuję:)

[grdv10]

Zakładamy, że \(x\ne 0\).
\[\begin{aligned}
&-3\leqslant 1+\frac{4}{x}\leqslant 3\\
&-4\leqslant\frac{4}{x}\leqslant 2\\
&-1\leqslant\frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{2}
\end{aligned}\]

Jeśli \(x>0\), to pierwsza nierówność jest prawdziwa, zaś z drugiej mamy \(x\geqslant 2\). Jeśli \(x<0\), to druga nierówność jest prawdziwa, zaś z pierwszej mamy \(x\leqslant -1.\) Ostatecznie \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 2,+\infty).\)

[celia11]

Jeśli \(x>0\), to pierwsza nierówność jest prawdziwa, zaś z drugiej mamy \(x\geqslant 2\). Jeśli \(x<0\), to druga nierówność jest prawdziwa, zaś z pierwszej mamy \(x\leqslant -1.\) Ostatecznie \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 2,+\infty).\)

Proszę o dokładniejsze rozpisanie, ja tego nie rozumiem:(

Dziękuję

[Jerry]

Albo
Dla \(x\ne0\) mamy
\({|x+4|\over |x|} \le 3\quad|\cdot |x|\\
|x+4|\le 3|x|\quad |^2\\
x^2+8x+16\le 9x^2\\
x^2-8x-16\ge 0\quad |\colon8\\
x^2-x-2\ge0\\
(x-2)(x+1)\ge0\)
wykres, \(x\ne0\) i odpowiedź
\(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle2;+\infty)\)

Pozdrawiam

[Galen]

Zakładamy, że \(x\ne 0\).
\[\begin{aligned}
&-3\leqslant 1+\frac{4}{x}\leqslant 3\\
&-4\leqslant\frac{4}{x}\leqslant 2\\
&-1\leqslant\frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{2}
\end{aligned}\]

Jeśli \(x>0\), to pierwsza nierówność jest prawdziwa, zaś z drugiej mamy \(x\geqslant 2\). Jeśli \(x<0\), to druga nierówność jest prawdziwa, zaś z pierwszej mamy \(x\leqslant -1.\) Ostatecznie \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 2,+\infty).\)

\(-1\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{2}\)
Możesz teraz naszkicować wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) dorysować wykresy funkcji stałych \(y=-1\;\;\;\;oraz\;\;\;y=\frac{1}{2}\)
Zobaczysz jaka część krzywej leży między tymi dwoma prostymi i dla jakich wartości x tak jest...
\(x\in (-\infty;-1> \cup <2;+\infty)\)