Udowodnij nierówność

[franco11]

\( \frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} } \le \sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2} } \)
Dziękuję

[kerajs]

W ogólności nie jest to prawda. Wstaw np: -4 i 2

Pewnie a i b miały być dodatnie, a wtedy :
\( \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2} } \\
\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \le \frac{a^2+b^2}{2} \\
8a^2b^2 \le ((a-b)^2+2ab)((a-b)^2+4ab)\\
0 \le (a-b)^2(a^2+4ab+b^2) \)

[Jerry]

Albo:
Dla liczb dodatnich \(a,\ b\) zachodzi porządek pomiędzy średnimi (harmoniczną, geometryczną, arytmetyczną i kwadratową):
\[ \frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} } \le\sqrt{ab}\le{a+b\over2} \le \sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2} } \]
i równości zachodzą dla \(a=b\).

Wykazanie kolejnych nierówności jest bardzo elementarne, np. nierówność
\(\frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} } \le\sqrt{ab}\)
jest równoważna kolejno
\({2ab\over a+b}\le\sqrt{ab}\\
2\sqrt{ab}\le a+b\\
0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2\)
co jest prawdą i równość zachodzi dla \(a=b\). CKD

Pozostałe - analogicznie...

Interesująca Cię nierówność jest wnioskiem z powyższej.

Pozdrawiam

[franco11]

Dziękuję. Oczywiście dodatnie. Jerzy pokazał nierówności z srednim. Dziękuję