Równania i nierówności Trygonometryczne

[vvv32]

[ciach]

Tak jak wyżej, na obrazku.
Proszę o pomoc

[radagast]

Trzeba przepisać . Takie nie przejdzie . Patrz regulamin :https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=49&t=12617

[Jerry]

Trzeba przepisać . Takie nie przejdzie ...

Ale dla zachęty, że umiemy i możemy pomóc:
c) Niech
\(\tg x = t\wedge t\in\rr\setminus \{0\}\)
Wtedy
\(t+{1\over t}=2\\ t^2-2t+1=0\\ t=1\)
\(\tg x=1\\ x={\pi\over 4}+k\cdot\pi\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam

[Galen]

Też zachęcam do zapisania zadań,a wtedy pomożemy...
1)
\( \sqrt{3}cosx=sin2x\\ \sqrt{3}cosx=2sinx cosx\\ \sqrt{3}cos x-2sinx cosx=0\\cos x( \sqrt{3}-2sinx)=0\\cosx=0\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\; \sqrt{3}-2sinx=0\\x_1= \frac{ \pi }{2}+k \pi \\lub\\sinx= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\x_2= \frac{\pi}{3}+2k\pi\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x_3= \frac{2\pi}{3}+2k\pi\)
2)
Wprowadź zmienną pomocniczą t
\(t=cos x\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t\in<-1;1>\\2t^2+t-3=0\\t=1\\cos x=1\\x=2k\pi\)

______________________________________________________________
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=6&t=568
Tu znadziesz poradnik jak pisać wzory matematyczne

[vvv32]

Przepraszam, poprawiam zadanie:
Generalnie z 1,2,3 zadaniem był najmniejszy problem, dziękuje za szybką odpowiedź, może innym się z przyda, także dodaje resztę i proszę o dalszą pomoc..

1. \(\sqrt{3}\cos x = \sin 2x\)

2. \(2\cos^2x + \cos x - 3 = 0\)

3. \(\tg x + \ctg x = 2\)

4. \(\sin(3x+2) \ge 0 \)

5. \(\cos^2 2x + \sin 2x \ge 1\)

6. \(\sin(\frac{x}{2} + \frac{π}{9}) - \sin(\frac{x}{2} - \frac{π}{9}) = -\cos \frac{π}{9}\)

[radagast]

5. cos\(^2\)2x + sin2x ≥ 1

\(\cos^22x + \sin 2x ≥ 1\)
\(1-\sin^22x + \sin 2x ≥ 1\)
\(-\sin^22x + \sin 2x ≥ 0\)
\(\sin^22x - \sin 2x \le 0\)
\(\sin2x(\sin 2x - 1) \le 0\)
\(\sin2x \ge 0\)
\(2x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), k \in C\)
\(x \in (k\pi, (k+ \frac{1}{2} )\pi), k \in C\)

[Galen]

3)
\(tgx=t\\t+\frac{1}{t}=2\\t^2+1=2t\\t^2-2t+1=0\\(t-1)^2=0\\t-1=0\\t=1\;\;\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\;tg x=1\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\;\;\;\;k\in C\)

[Galen]

4)
\(sin(3x+2)\ge 0\\3x+2\ge 0+2\pi\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;3x+2\le \pi+2\pi\\
3x+2\ge 2\pi\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;3x+2\le 3\pi\\
3x\ge 2k\pi-2\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;3x\le 3k\pi-2\\
x\ge \frac{2k\pi}{3}-\frac{2}{3}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;x\le k\pi-\frac{2}{3}\\
x\in < \frac{2k\pi}{3}- \frac{2}{3}\;;\;k \pi- \frac{2}{3}>\)

[Jerry]

4. \(\sin(3x+2) \ge 0 \)

\(0+k\cdot 2\pi\le 3x+2\le \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\zz\)
\({k\cdot 2\pi-2\over3}\le x\le {\pi+k\cdot 2\pi-2\over3}\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam

[Galen]

5)
Z jedynki trygonometrycznej jest \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\cos^2\alpha=1-sin^2\alpha\)
Podstaw do nierówności
\(cos^22x+sin^22x\ge 1\\
1-sin^22x+sin2x\ge 1\\
-sin^22x+sin2x\ge 0 \)
Podstaw sin2x=t
\(-t^2+t\ge 0\\t(1-t)\ge 0\\t\in <0;1>\\
sin2x\ge 0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;sin2x\le 1\\
x\ge 0+k\pi\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x<\frac{\pi}{4}+k\pi\;\;\;\;\;k\in C\)
\(x\in <k\pi\;;\;\frac{\pi}{4}+k\pi>\)

[Jerry]

6. \(\sin(\frac{x}{2} + \frac{π}{9}) - \sin(\frac{x}{2} - \frac{π}{9}) = -\cos \frac{π}{9}\)

Ponieważ:
\(\sin(\frac{x}{2} + \frac{π}{9}) - \sin(\frac{x}{2} - \frac{π}{9}) = 2\sin\frac{\frac{x}{2} + \frac{π}{9}-\frac{x}{2} + \frac{π}{9}}{2}\cos\frac{\frac{x}{2} + \frac{π}{9}+\frac{x}{2} - \frac{π}{9}}{2}=2\sin{\pi\over9}\cos{x\over2}\)
to równanie można przekształcić do postaci:
\(\cos{x\over2}=-{\ctg{\pi\over9}\over2}\approx-1,37<-1\)
Zatem \(x\in\emptyset\)

Pozdrawiam

PS. Jeśli byłoby np.
\[\sin(\frac{x}{2} + \frac{π}{9}) \color{red}{+} \sin(\frac{x}{2} - \frac{π}{9}) = -\cos \frac{π}{9}\]
to równanie sprowadziłoby się do postaci
\[\sin{x\over2}=-{1\over2}\]
i miałoby ładne rozwiązanie... ale nie było

[vvv32]

4)
\(sin(3x+2)\ge 0\\3x+2\ge 0+2\pi\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;3x+2\le \pi+2\pi\\
3x+2\ge 2\pi\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;3x+2\le 3\pi\\
3x\ge 2k\pi-2\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;3x\le 3k\pi-2\\
x\ge \frac{2k\pi}{3}-\frac{2}{3}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;x\le k\pi-\frac{2}{3}\\
x\in < \frac{2k\pi}{3}- \frac{2}{3}\;;\;k \pi- \frac{2}{3}>\)

3x + 2 > 0 + 2π
Dlaczego 2π?

3x + 2 ≤ π + 2π
Dlaczego π + 2π?

5)
Z jedynki trygonometrycznej jest \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\cos^2\alpha=1-sin^2\alpha\)
Podstaw do nierówności
\(cos^22x+sin^22x\ge 1\\
1-sin^22x+sin2x\ge 1\\
-sin^22x+sin2x\ge 0 \)
Podstaw sin2x=t
\(-t^2+t\ge 0\\t(1-t)\ge 0\\t\in <0;1>\\
sin2x\ge 0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;sin2x\le 1\\
x\ge 0+k\pi\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x<\frac{\pi}{4}+k\pi\;\;\;\;\;k\in C\)
\(x\in <k\pi\;;\;\frac{\pi}{4}+k\pi>\)

sin2x ≥ 0
x ≥ 0 + kπ

sin2x ≤ 1
x < \(\frac{π}{4}\) + kπ

Proszę o wyjaśnienie i jeszcze raz dziękuje!

[Jerry]

3x + 2 > 0 + 2π
Dlaczego 2π?

Bad-klick, zdarza się... W następnym wierszu jest już poprawnie. Nota bene w moim poście - też.

Pozdrawiam