Nierówność logarytmiczna

[Januszgolenia]

\(1+\log_\frac{1}{2}(\sin x)+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^2+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^3+....... \le 2 \)

[kerajs]

\(1+\log_\frac{1}{2}(\sin x)+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^2+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^3+....... \le 2 \ \ \wedge \ \ \sin x>0 \ \ \wedge \ \ |\log_{\frac12}\sin x |<1\\
\frac{1}{1-\log_\frac{1}{2}(\sin x)}<2\\
1-\log_\frac{1}{2}(\sin x)> \frac{1}{2}\\
\log_\frac{1}{2}(\sin x)<\frac12 \\
\sin x> \sqrt{ \frac{1}{2} }
\)
założenia:
\(\sin x>0 \ \ \wedge \ \ ( \frac12 < \sin x<2)\)
nie wpływają na rozwiązanie więc:
\(x \in \left( \frac{ \pi }{4}+k2\pi ; \frac{3\pi}{4}+k2\pi \right)\)

[Galen]

\(sinx>0\;\;\;\;i\;\;\;\;\;(\frac{\sqrt{2}}{2}<sinx<2)\)
Dalej bez zmian.

[kerajs]

\(\frac{\sqrt{2}}{2}<sinx<2\)

A z czego wynika \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) w założeniu?

[Galen]

\(\frac{\sqrt{2}}{2}<sinx<2\)

A z czego wynika \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) w założeniu?

\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

[kerajs]

Wobec tego skąd się bierze \(\sqrt{\frac12}\) w założeniu?

[Galen]

Wobec tego skąd się bierze \(\sqrt{\frac12}\) w założeniu?

\(1-log_{ \frac{1}{2} }(sin x)> \frac{1}{2}\\1- \frac{1}{2}>log_{ \frac{1}{2} }(sinx)\\log_{ \frac{1}{2} }(sinx)< \frac{1}{2}\\log_{ \frac{1}{2} }( \frac{1}{2})^{ \frac{1}{2} }= \frac{1}{2}\;\;wstaw\; po\; prawej \;stronie\;nierówności\)
\(log_{ \frac{1}{2} }(sinx)<log_{\frac{1}{2}}( \frac{1}{2})^{ \frac{1}{2} }\)
Opuszczasz log po obu stronach nierówności,a ponieważ log o podstawie dodatniej i jednocześnie mniejszej od 1 jest funkcją malejącą,to zmieniamy zwrot nierówności...
\(sinx>( \frac{1}{2})^{ \frac{1}{2} }\\sinx> \sqrt{ \frac{1}{2} }\\sinx> \frac{ \sqrt{2} }{2}\)

[kerajs]

Wobec tego skąd się bierze \(\sqrt{\frac12}\) w założeniu?

\(1-log_{ \frac{1}{2} }(sin x)> \frac{1}{2}\)

Pytałem skąd się wziął \(\sqrt{\frac12}\) w założeniu, a nie w rozwiązaniu.