Równania logarytmiczno-trygonometryczne

[Januszgolenia]

a) \(3(log_2{sinx})^2+log_2(1-cos2x)=2\)
b) \(log_{ \sqrt{2}sinx}(1+cosx)=2\)

[kerajs]

a)
\(3(\log_2{\sin x})^2+\log_2(1-\cos 2x)=2 \ \ \wedge \ \ \sin x>0 \\
3(\log_2{\sin x})^2+\log_2(2\sin^2x)=2\\
3(\log_2{\sin x})^2+1+2\log_2{\sin x}=2\\
3(\log_2{\sin x})^2+2\log_2{\sin x}-1=0\\
3(\log_2{\sin x}+1)(\log_2{\sin x}- \frac{1}{3}) =0 \\
\log_2{\sin x}=-1 \ \ \vee \ \ \log_2{\sin x}= \frac{1}{3} \\
\sin x= \frac{1}{2} \ \ \vee \ \ \sin x= \sqrt[3]{2} \\
\sin x= \frac{1}{2}\\
x= \frac{ \pi }{6}+k2 \pi \ \ \vee \ \ x= \frac{ \pi }{6}+k2 \pi
\)
b)
\(\log_{ \sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2 \ \ \wedge \ \ \sin x >0 \ \ \wedge \ \ \sin x \neq \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
\log_{ \sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2\log_{ \sqrt{2}\sin x}(\sqrt{2}\sin x) \\
1+\cos x=(\sqrt{2}\sin x)^2 \\
1+\cos x=2-2\cos^2 x \\
2(\cos x+1)(\cos x- \frac{1}{2} )=0\\
(\cos x=-1 \ \ \vee \ \ \cos x= \frac{1}{2} ) \ \ \wedge \ \ \sin x >0 \ \ \wedge \ \ \sin x \neq \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
x= \frac{ \pi }{3}+k2 \pi \)

[Januszgolenia]

A co z tym \(sinx= \sqrt[3]{2}\) . W odpowiedzi drugiej do a) powinno być \(sinx= \frac{5}{6} \pi +2k \pi \)

[kerajs]

Ponieważ \( \sqrt[3]{2}>1\) więc równanie \(\sin x= \sqrt[3]{2}\) nie ma rozwiązania.

Co do odpowiedzi w a) to owszem, powinno tam być \(x= \frac{5\pi}{6} +k2 \pi \). Nawet przygotowałem miejsce na tę odpowiedź, lecz nie umiem wyjaśnić dlaczego brakuje mi tam piątki. Byłem przekonany że ją dopisywałem do kopiowanego fragmentu, ale jak widać tego nie zrobiłem. Sorki.

PS.
Pewnie będziesz równie zaskoczony widząc swój zapis:

\(sinx= \frac{5}{6} \pi +2k \pi \)