Nierówność logarytmiczno-wykładniczo-potęgowa z parametrem

[Januszgolenia]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność \(log_2[m(x^2+1)] \le log_2(4x^2+4x+7)\) ma co najmniej jedno rozwiązanie.

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność \(log_2[m(x^2+1)] \le log_2(4x^2+4x+7)\) ma co najmniej jedno rozwiązanie.

\(m>0\\
m(x^2+1)\leq 4x^2+4x+7\\
x^2(m-4)-4x+m-7\leq 0\)

I. \(m=4\)
\(-4x-3\leq 0\)
nierówność ma co najmniej jedno rozwiązanie

II.
\(m-4>0\;\;\wedge\;\;\Delta\geq 0\\
m>4\;\;\wedge\;\;m\in [3,8]\\
m\in (4,8]\)

III.
\(m-4<0\\
m<4\)

Z I lub II lub III i z warunku \(m>0\) otrzymujemy

Odpowiedź: \(m\in (0,8]\)

[Januszgolenia]

A dlaczego w III nie ma warunku delty.

[eresh]

A dlaczego w III nie ma warunku delty.

Parabola ma ramiona w dół, więc niezależnie, czy delta będzie dodatnia, ujemna, zerowa nierówność będzie miała co najmniej jedno rozwiązanie